Sur les systèmes complets et le calcul des invariants différentiels des groupes continus finis

SUR LES SYSTÈMES COMPLETS ET LE CALCUL DES INVARIANTS DIFFÉRENTIELS DES GROUPES CONTINUS FINIS.

Les groupes continus de transformations, dont la theorie générale à été créée par M. Soraus Lire, jouent un grand rôle dans différentes parties de l’analyse et ils sont, en particulier, d’une importance capitale pour l'intégration des équations différentielles. Dans l'étude de ces transformations on est amené à considérer certaines expressions des variables du groupe et des dérivées de quelques-unes d’entre elles par rapport aux autres ou par rapport à des variables auxiliaires, expressions qui servent en quelque sorte à caractériser les œroupes mêmes, je veux dire les 2nvariants différentiels. Cette notion n’est pas nouvelle, quelques-uns de ces invariants ayant été connus et étudiés depuis longtemps par les géomètres. Tels sont les paramètres différentrels introduits dans la théorie des surfaces par Minnixe et Berrrami; l'expression {s, x} dont se sert M. Scxwarz pour résoudre un problème célèbre de représentation conforme, en fournit un autre exemple. Mais ce ne sont là que des cas particuliers; le fait essentiel que tout groupe continu admet une infinité d'invariants différentiels a été découvert par M. [xe, qui à aussi le premier proposé des méthodes générales pour calculer ces invariants.

La présente étude a pour objet le calcul des invariants différentiels des groupes continus finis, c'est-à-dire contenant un nombre fini de paramètres. Klle est divisée en quatre chapitres. Dans le premier, après avoir cité quelques définitions et théorèmes généraux indispensables pour la suite, nous déduisons l'existence des invariants d’un groupe intransitif et la loi de leur formation, en partant des équations finies du groupe. La méthode en quelque sorte intuitive dont nous faisons usage, ne suppose connues que les propriétés les plus générales des groupes; elle diffère en cela de l'exposition de M. Lx, qui est fondée

sur le mode de génération des. groupes au moyen de transformations infinitési-

males et sur la théorie des systèmes complets. La même méthode nous conduit aussi d'une manière simple à déterminer toutes les multiplicités qui restent invariantes par rapport à un groupe donné.

Le second chapitre est consacré à l'étude des groupes prolongés et des invariants différentiels. Le calcul des ces invariants peut s'effectuer d’après deux méthodes essentiellement différentes, suivant qu'on part des équations finies du groupe considéré ou de ses transformations infinitésimales. La première méthode, pour l'exposition de laquelle nous avons mis à profit une remarque importante de M. TRresse, n'exige que des différentiations et des opérations algébriques; d’après la seconde on aura à intégrer un système d'équations linéaires homogènes aux dérivées partielles du premier ordre. — C'est cette intégration qui fait l'objet du troisième chapitre. Les différents procédés qu'on a employé à cet effet jusqu'ici, ont cela de commun qu'on ramène d’abord le système dont il s’agit, à un système comlet, en y ajoutant certaines équations complémentaires, et qu'on transforme ensuite ce système complet en un autre d’une forme particulière. Ces opérations sont souvent assez longues et pénibles, surtout lorsqu'on à affaire à un grand nombre d'équations. La réduction du premier système complet à la forme voulue présente en outre cet inconvénient que les coefficients du système à intégrer deviennent en général moins simples. Or, il est possible d'éviter l’une et l’autre de ces opérations et de simplifier ainsi considérablement le calcul. Nous montrons en effet (n° 21) que, étant donné un système d'équations linéaires à n variables, si l’on a intégré une quelconque de ces équations, on peut ramener le système, par un changement de variables et par des opérations algébriques élémentaires, à un système à n-1 variables admettant les mêmes intégrales que le premier. Pour le calcul des invariants différentiels, la méthode que nous proposons, présente encore l’avantage de réduire, dans bien des cas, le nombre des opérations nécessaires qui consistent à prolonger les transformations infinitésimales.

Comme application des théories précédentes, nous effectuons enfin, dans le quatrième chapitre, le calcul des invariants différentiels de quelques groupes

particuliers.