CHAPITRE L
NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES GROUPES DE TRANSFORMATIONS. INVARIANTS ET MULTIPLICITÉS INVARIANTES,
1. Nous commençons par rappeler quelques définitions et théorèmes généraux de la théorie des groupes de transformations, dont nous aurons à faire usage dans la suite.
On dit que l'ensemble des transformations
(1) ir Te, Hi) UE n),
où 4...a, désignent des paramètres arbitraires, constitue un groupe continu, si le produit de deux quelconques de ces transformations équivaut à une transformation unique comprise dans ce même ensemble. Les fonctions 7. fient alors des relations de la forme
Fe (is à) fa (ts à), bi. 0) = fifa an, pi (a, db). p, (a, b)) (ere An).
Le groupe est en particulier dit à » paramètres, si les paramètres 4,...4, sont tous essentiels ?), c. a. d. qu'il est nécessaire, pour déterminer complètement la transformation (1), d'établir entre @,...a, r relations distinctes.
Soient done (1) les équations d'un groupe continu à 7 paramètres et supposons en outre que 7,...7/, soient des fonctions analytiques de x,...4,, 4,...4,, holomorphes tant que ces quantités restent comprises dans certains domaines finis. D'après M. Tue”) ces fonctions satisfont alors à des équations aux dérivées partielles de la forme
véri-
ln
@) =D GG a) EG em) Gæremkz re)
le déterminant des w;, ne s’annulant pas identiquement.
1) Sopxus Lie, Theorie der Transformationsgruppen (Teubner 1888), I, p. 12. 2), Toid./“p. 33.
4 E. LINDELÔF-.
Nous ferons encore l'hypothèse que notre groupe contienne la #ransformation identique, c. a. d. qu'il existe un système de valeurs 4°... a,°, telles qu'on ait identiquement
CASE PC AN EX 7 (tin). Enfin le déterminant des w,, doit être différent de zéro pour & =&°, .…., a,= a").
Cela posé, les équations (2) nous donnent, pour a =4@°, .…, a,=a@,!,
û See | É li (F, A =) Ur (a +. a). &j (ia) (= ner
nil
En posant, pour simplifier l'écriture,
Q : « LE f: (&, a) re = Er),
on peut tirer des équations précédentes les £; en fonctions linéaires des &, Ex (+: 2) = » Gr Exi (ti ++" an):
Par cette substitution les équations (2) deviennent
% , Oxi Le ’ ’ ‘ Ce dax = Ÿ vx (a + On). Éj5 (Œr ++ Œn) G=r..nk = 1.7), ; D
les Y; étant de nouvelles fonctions des & dont le déterminant ne s’annule pas identiquement.
Faisons dans les équations (1) a, =a;+da;. On aura, d’après la notation admise,
(3) Diet > Er: Gas 2) dar +... (=rpe nn):
KL Il en résulte pour une fonction quelconque f (4) GS ue: D) = f (a “… Th) + D: Xz ri day: — duels + 67e , os | ou Xz f Æ > Ex ( …. %n) Je (& st 4 CCE r).
En considérant les da, comme des infiniment petits, on peut dire que le groupe (1) contient les transformations infinitésimales *)
1) Sopaus Luxe, Transformationsgruppen, I, p. 68. 2) 1bid., p. 53 "et p.78.
Li = di + » Eyi (Xs<* Xn) dax (mr):
