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les équations finies des multiplicités caractéristiques.

Par un élément E^"* passent oo^ caractéristiques dont le lieu est une multiplicité intégrale m^; son équation est de la forme

r |^, ^j, • • • 9 ^ny *^ \y • • • > •^/i — v» ^n— v-h1> • • •> *^ny ^ > (^ ) y • • •> \^^^ ) J ^^^ O.

Si, dans cette équation, on donne à j?^, . . . , x^^^ des valeurs numériques quelconques, et si l'on considère les autres constantes comme des paramètres arbitraires, on a une intégrale complète du système £.

Inversement, supposons connue a priori une intégrale complète; supposons, en outre, que l'on connaisse une multiplicité intégrale M^; on pourra alors, par de simples éliminations, trouver la multiplicité intégrale m^ passant par Mv . En effet, si l'on considère un élément quelconque E^ de Mv » il y a une intégrale complète bien déterminée qui passe par E^. Envisageons l'ensemble des éléments E'' de

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 49

Mv et la suite des intégrales complètes passant par ces divers éléments; elles seront représentées par une équation de la forme

les a étant des paramètres définissant la position du point correspondant à chaque élément E''.

Pour avoir l'intégrale demandée, il suffira évidemment de chercher Tenveloppe de ces intégrales complètes, c'est-à-dire d'éliminer a,, «2, . . . , «v entre les équations

21. Nous allons appliquer les résultats précédents a un exemple simple.

Soit le svslème

nous avons montré au n° 7 qu'il était complètement intégrable. Des deux premières équations, on déduit

ôx \ ôjc 1 ôx^ àx , ^^3

Les (Mjuations différentielles des caractéristiques sont donc

({j-^ zirr. ciXz = — dx^ = dly

dz =/;, dx^-^p^ dx^-hpz dXi, dpi = Pndxi-{- pi^dx^'{- pi^dx^, dpi = Piidxi-hfi^dXi-^pi^dx^, dpz — p^i dxi -\- />32 dxi -t- Pizdx^y dpii — o, dpi^^ — o, dpiiZ=o,

5o J. BELDON.

OÙ Ton a posé

ôz à' z

/'i^TZ-' Pil^

Les équations finies des caractéristiques sont donc

.r, = X\ -+- ty ,llt-=Z X^ -H ty

/f^zzzpl -h (C -h C")t,

Pii-Pli^

Pl2^^ Pif* PiZ — P'\.i*

Pa — rU — ^y

Pii = P\x -^'^p\^ — ^c~c'\

Il s'agit de déterminer maintenant les multiplicités iM^ vérifiant le système proposé; nous poserons a?J = o et nous aurons trois fonctions inconnues, à savoir

On tire immédiatement des équations données

ôx\ôx\ dx\

drï '~ Ox\* àxl^ "^ *

Nous voyons donc que le support de la multiplicité Mj est déterminé par une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 5l

variables indépendantes. L'intégrale générale de cette équation est

X et X étant des fonctions arbitraires de leurs arguments; on en déduit

[i. étant une constante arbitraire; et enfin

(83) pl, =: .r//'(.rî -f-.r«) -h X"(..;') 4- c•^

puis

ri 1 —

Pour avoir l'intégrale générale, il faut éliminer x^ ^If P% ^l^ K» />",. ...,/?j3 entre les équations finies des caractéristiques, oit l'on a fait xl = o, et les équations (81), (82), (83) et (84); par un calcul facile on trouve

z -: c( j:-i-h .ra) (.rj-h .r,) — [(c — c' ) (..r, -h .r^) -^ [c — c" ) (x^-h .rj) — fxj,/-.,

-h \ {c'— c"-hc'^),rl 4- /.(.r, -h x. -^ 2J"3) 4- X(.r, 4-.r3).

F// et approuvé :

Paris, le 19 mars 1896.

Le Doyen de la Faculté des Sciences,