TROISIÈME PARTIE
18. Considérons maintenant un système complëtement intégrable composé de r^ — w + T équations d'ordre p ; en appliquant le procédé de calcul indiqué au n** 8, nous pouvons préparer le système de façon que l'une de ses équations ait la forme
Soit
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 4^
une intégrale quelconque du système; sur cette intégrale, Z*, ..., Z^ sont des fonctions connues de a?,, . . ., or^^; et, par suite, les équations
/n^\ ^^1 ^^? dxn __ ^,
w*^; is: • — 3Â — 5Â — — ^^
rf^,
«tep
dO^
<^zs,+i ..«,
^^a,...ap-»-i...a„
définissent sur la multiplicité intégrale une famille de courbes (multiplicités à une dimension) que nous appellerons caractéristiques.
Nous allons montrer que, sans connaître Texpression de z en fonction de a?,, . . ., ^rt, on peut joindre aux équations précédentes d'autres équations qui permettent de définir complètement la variation des variables a?,-, «, Z*, . . ., Z^ le long d'une caractéristique.
Partons d'un élément E^ de l'intégrale et attribuons aux variables des accroissements définis par les formules (73) et l'équation de la multiplicité intégrale. Nous aurons
(74) (^L.y^.= ^^iîX^u,\,dxi (A: =1,2, ...,/>).
L'équation (72) differentiée par rapport à Xi donne Remplaçons
0C|+1...0(ji «i ..OCn+l
par leurs valeurs
C^JTi dXn
-di' "' -dt'
nous aurons, en tenant compte de
44 J- BEUDON.
régalité
Les autres équations du système différentiées par rapport à / et les
équations (74) feront connaître ^ et Xes-^-t •••, -^•, ces équations
ne dépendent pas de la fonction F» et, par suite, on peut déterminer les éléments successifs le long d'une caractéristique sans connaître l'intégrale.
La caractéristique issue d'un élément déterminé E^ est donc bien déterminée. On en conclut que si deux intégrales ont un élément commun, elles ont en commun tous ceux qui sont sur la caractéristique issue de ce point.
19. Envisageons un système £ complètement intégrable composé de rj — V équations d'ordre p\ d'après ce qui a été établi aun® 7, il contient n — v systèmes composés chacun de F^ — /i + i équations; nous les désignerons par S<, Sa, ..., S;^.^.
Soit M^ une intégrale de £ et E^ un élément de cette intégrale. Par E^ passe une caractéristique Gf de S4 dont tous les éléments sont situés sur MJ. Soit alors E'^ un élément de Cf ; par E'^ passe une caractéristique C'fdeSa, et l'ensemble de toutes les caractéristiques C^ issues de tous les éléments de C^ formera une multiplicité MJ sur M^. En continuant de la sorte, on arrivera finalement à une multiplicitéMjLv située sur M^, passant par l'élément E^, obtenue par la superposition successive des caractéristiques des /i — 1 systèmes S^, . . ., S^v«
Nous désignerons cette multiplicité M,^,- sous le nom de multiplicité caractéristique du système S.
On voit de suite que toute intégrale qui contient un élément W contient la multiplicité caractéristique MJ^ issue de cet élément.
20. Étant donné le système £, il est facile d'obtenir, par le changement de variables de Gauchy, un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre définissant l'ensemble des multiplicités caractéristiques M^v.
On peut supposer, en effet, qu'il y a, parmi les équations du sys-
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 4^
tëme £, n — V relations de la forme suivante
(/=i, 2, . . ., n — v), (a, -h.. .+ (Xn=p — ^)
et telles que les lettres Z«^. .a.^,. «^ y égarent efftctwement. J'effectue un changement de variables tel que
Xyy • • • 9 ^/J— V
ne sont pas altérées, tandis que
deviennent des fonctions de o^f, . . ., x^-^t et de v nouvelles variables J'aurai les formules
j'en déduis
Je différentie les équations (75) par rapport \y^ en tenant compte de (76) et (77) jusqu'à Tordre /> — i et de (78) pour l'ordre p, et j'obtiens
w" ^ ""^^^ — — ^x, . . .Xi +1 . . .X, -T-^ ^X, . . .X,v+ç+i . . .X,
rP
Q gg j ai...(Xi,v-4^-+-t...oc
Zfi....ai+i...a„-^ \ ^-3?/ (Jy^ dyq dXi )
4fi J. BEUDON.
Je choisis le changement de variables de façon que Ton ait
(80) ^^^ ^ àXn-y^p ^.
dans ces conditions, le terme en
disparait dans les équations (79)» qui prennent la forme suivante
A/1 — 3 h A|j — 3 h. . . -h Aiv 3 — ^=- O,
/l — ^, HA/, — j- • +. . .-+- A/v ;^— =0,
Le déterminant de ces équations linéaires et homogènes en Â/,, ..., A/v est précisément le déterminant fonctionnel de ir„.v+i» • • •> ^n par rapport à ^',, ...,7v; il est certainement différent de zéro, puisque â?„.v^4, ...jXn sont des variables indépendantes; on a donc
A/1 = 0, . . . , A/v = o, c* est-à-dire
Si nous différentions les autres équations du système £ par rapport ào^i, ...9 â7,2.v successivement, et si nous tenons compte des relations (76) nous aurons un système du premier ordre définissant a?;,v4.4 , . . . , x^f ZyZ\ . . . , Z'' en fonction de a?, , . . . , x^^^ ; il résulte des raisonnements faits au paragraphe précédent que ce système est complètement intégrable, et nous avons indiqué au n^ 8 comment on ramenait l'intégration d'un système de ce genre à Tétude d'équations différentielles ordinaires.
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 4?
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système différentiel complètement intégrable définissant z en fonction de x^, . . ., x^ ait des caractéristiques dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires est que, sip est l'ordre le plus éleçé des dérivées quiy figurent^ et si Von a amené toutes les équations à être d'ordre p, le nombre de ces équations soit égal à T^^ — ï, i étant un entier positif inférieur à n.
21. Pour achever l'intégration du système proposé, il faudrait, dans les formules qui donnent ir„vMi . . ., iP„,5,Z*, . .. , Z^ en fonctions de 07,, . . . , a?;,v, remplacer les constantes d'intégration par des fonctions de j,, ...,yv telles que les relations (77) soient vérifiées.
On verrait, par un calcul tout à fait semblable à celui du n^ 10, que cela revient à trouver les multiplicités Mî' qui vérifient notre système.
C'est ici qu'apparaît une différence essentielle entre les systèmes que nous étudions et les systèmes du premier ordre; pour ces derniers, la multiplicité Mv se détermine sans intégration, tandis que pour nos systèmes la détermination de MÇ dépend d*un système d^ équations aux dérivées partielles plus difficile à étudier que le système proposé.
Proposons-nous, en effet, de déterminer cette multiplicité MÇ; soient
les équations de son support; en vertu des principes exposés au n^ 3, tous les Z*...x,o...o sont déterminés en fonction d&^; les Z*...ox,^,...x„ sont des fonctions inconnues, dont les Zx,. x„ V^^ n'entrent pas dans l'une des deux catégories précédentes sont des dérivées; on aura ainsi h intégrer un système différentiel à v variables et à
iH-ln — vH~-''"+" *n— V — ^n —
fonctions inconnues.
Or, on voit aisément que, si le support ^ est déterminé, l'orientation des éléments d'ordre p est déterminée à des constantes près ; donc les fonctions inconnues qui entrent dans la définition de l'intégrale générale du système £ doivent entrer dans la définition de 'j*;
donc» ^ sera défini par un système différenliel à v variables dont la solution générale est définie par v courbes passant par un point donné; ce système est donc plus compliqué que le système 1.
22. Considérons une multiplicité caractéristique M^^; par cette multiplicité passent une infinité de surfaces intégrales m^; et un calcul tout à fait analogue à celui qui a été fait au n^ 12 montrerait qu'on peut établir la formule générale des orientations d'élément d'ordre p' ^p correspondant à ces difi*érentes multiplicités intégrales.
On peut en conclure le théorème suivant : 5/ deux multiplicités intégrales nin ont un élément W{p'^p) commun^ il en est de même en tous les points de leur caractéristique commune.
