INTRODUCTION
L'un des problèmes les plus importants de la Théorie des équations aux dérivées partielles est la détermination des cas où la recherche des intégrales peut être ramenée à l'intégration d'équations différentielles ordinaires.
Dans le cas des équations du premier ordre à une fonction inconnue, le problème est résolu, et la théorie de ces équations a atteint un rare degré de perfection, grâce aux travaux de M. Lie.
Dans le cas des équations d'ordre supérieur, les progrès accomplis sont loin d'être aussi considérables. M. Lie a démontré (*) que tous les systèmes différentiels, dont la solution générale ne renferme qu'un nombre fini de constantes arbitraires, conduisent à l'intégration d'un système complet. Auparavant, M. Darboux avait indiqué, dans un Mémoire fondamental ('-*), un procédé régulier pour reconnaître la possibilité du problème et obtenir sa solution.
(*) Théorie der Transfonnationsgruppen (I. Abschnilt, p. 171). (*) Annales de l'École Normale; 1870.
4 J. BEUDON.
Une étude approfondie des méthodes de M. Darboux conduit tout naturellement au problème suivant :
Déterminer^ et étudier les systèmes différentiels dont les caractéristiques dépendent d'un nombre ^ni de constantes arbitraires.
Le cas où il y a plusieurs fonctions inconnues se ramené à celui d'une seule fonction, grâce au théorème suivant, dû à M. Riquier (*) :
c( Étant donné un système différentiel dont les seconds membres sont nuls et les premiers olotropes dans quelque système de cercles, on peut, dans les circonstances générales et sauf la rencontre de relations non identiques entre les seules variables indépendantes, le remplacer par un système ayant les mêmes intégrales et formé de deux groupes d'équations G^, Gg qui jouissent de la double propriété ciaprès énoncée : i° Tune des fonctions inconnues u du système ne se trouve plus impliquée dans le groupe G.,\ 2° en substituant aux fonctions restantes v^svy ... des intégrales quelconques du groupe G2, on transforme le groupe Gi, soit en une formule unique exprimant directement la fonction u à l'aide des variables œ^ y, . . . , soit en un système harmonique passif à la seule fonction inconnue u. »
Le présent Travail a pour but l'étude des systèmes dont j'ai parlé plus haut; il se compose de trois Parties.
Dans la première Partie, je généralise, d'après M. Lie, la notion d'élément et de multiplicité d'éléments dans l'espace à /i -+- i dimensions pour un ordre quelconque, et j'rndique leur principale propriété. Je rappelle ensuite les résultats de M. Riquier (^) sur l'existence des intégrales dans les systèmes différentiels, et j'applique ces résultats aux systèmes que j'ai en vue d'étudier.
Dans la deuxième Partie, j'étudie les systèmes dont la solution ne renferme qu'une fonction arbitraire d'un seul argument, et je ramène leur intégration à des équations différentielles ordinaires.
La troisième Partie est réservée au cas général ; j'y mets en évidence les analogies des systèmes étudiés avec les systèmes d'équations du premier ordre en involution.
( 1 ) Annales de l* École Normale; 1893.
(2) Riquier, Mémoires des Savants étrangers, t. XXXIH.
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 5
Les principaux résultats contenus dans ce Travail ont été présentés à l'Académie des Sciences (séances des ii février iSgS, 29 avril iSgS, 2 décembre 1895).
Un cas particulier du problème que j'ai traité a été résolu par M. Lie, par une méthode toute différente {Berichle ùberdie Verhandlungen der K. S. Gesellschaft der Wissenschaflen zu Leipzig; 1895).
