PREMIÈRE PARTIE

1. J'appellerai point de l'espace à /i -H i dimensions tout système de valeurs des variables z, ic,, .. . , x^^ ces valeurs seront les coordonnées du point.

S'il existe entre les variables z^ x^, -^y x^ des relations

en nombre q, je dirai que ces relations représentent une multiplicité ponctuelle k /i -h i — y dimensions dans l'espace à /n- 1 dimensions, et je la représenterai par /W;,^.^.^.

Soit

une fonction dex^, ..., x^ régulière dans le voisinage du point x% .. ., xl\ elle représente une multiplicité ponctuelle m^; et si l'on pose d'une manière générale

dûc\ . . . âx^ii*

Kl • • • f-n '

k — Al -h ... H- A,4, ^0 ■ . ■ — ^9

les valeurs

où l'on donne aux nombres ^, X,, . . ., \ toutes les valeurs entières et

J. BECDON.

positives possibles, k variant de i à p, font connaître z dans le voisinage du points®, x\, ..., x^,^ jusqu'aux infiniment petits d'ordre p. Convenons alors d'appeler élément de multiplicité d'ordre p dans V espace à n -+- 1 dimensions tout système de valeurs attribuées aux lettres

(E'*) ^i> •••> ^ny ^9 •••> ^X,. ..).„» •••> ^ai

nous le désignerons par le symbole E^.

Je dirai que deux éléments infiniment voisins E'' et E^ -h 8E^

(E'^-f-oE'') \ k k

sont unis, si Ton a les identités

A|, • • •) An ^^^j A| • • • />{ T^ 1 • . . /^n

On voit immédiatement que les éléments E^ correspondant à deux points infiniment voisins d'une multiplicité m^ sont unis. Si un système d'équations en

vérifie les équations aux différentielles totales

(0 ^Zx. ...x^— S^xT".!. ),4-i ...x,, ^^f»

je dirai qu'il représente une multiplicité d'éléments E^ dans l'espace à n -h I dimensions, que je désignerai par le symbole M^. Dans le système (t), l'équation

dz , dz

dz z= -r — dxi -h ... H — i — dXn,

a une signification particulière : elle exprime que, parmi les équations de définition d'une multiplicité M^, il y a au moins une relation entre s, a?,, . . . , iCrt seulement; s'il y en a p, elles représenteront une multi-