Soit la transformation
que nous appellerons transformation ponctuelle de l'espace àn-^-x dimensions : nous y considérerons a?^, . . . , x^ comme des variables indépendantes, et z comme une fonction, quelconque d'ailleurs, de ces variables. Si les fonctions F ety] sont indépendantes, z' sera une fonction de a?'^ , . . . , Xj^\ prolonger la transformation (2), c'est obtenir les expressions des dérivées de z' par rapport à a?'^ , . . . , a?^^ en fonction de a;, , . . , x^, z et des Zx X • Soient
les formules qui définissent ce prolongement; elles doivent exprimer que les égalités
(3) dZi^,,,\^-=^7Jx,V.h+i ...\^dœi
doivent être une conséquence des relations
n (4) dl\^ ... x„=: ^ Zx7.!.X.-f-i ...Xn djCj.
Supposons que le prolongement soit possible jusqu'à l'ordre /?; nous
(») Foir Lie, Théorie der Transformationsgruppeuy I. Abschnitt, page 54 1
8 J. BEt'DON.
allons montrer qu'on peut l'effectuer pour V ordre p -h i . Pour Tordre/?, on a
si nous écrivons que les systèmes (3) et (4) sont une conséquence l'un de l'autre, nous aurons
On pourra toujours résoudre les équations (5) par rapport aux Za'^l^/.a 4-1. ..a„» ^ moius que le déterminant
, dxx "^ ôz ' ' ' dxn *'^ dz
f!4 + . if- if±^^if±
ôx^ '"^ dz ' ' ' dxn "*" dz .
ne soit nul, quelle que soit la fonction ^ de a?^, . . . , ^„; il devrait donc être nul pour tout système de valeurs attribuées àa?,, ..., oJ^» s,55,, ..., 5^, et par suite les fonctions /^, . . . ,/i ne devraient pas être indépendantes, ce qui est contraire à l'hypothèse.
On voit (*) donc que toute transformation ponctuelle prolongée, par définition même, laisse invariant le système d'équations différentielles (i); si donc on effectue une telle transformation sur une multiplicité d'éléments, on obtient une nouvelle multiplicité d'éléments.
3. Revenons à la détermination des multiplicités M^ ayant un support donné; soient
les équations de ce support.
(*) La mémo propricl6 subsiste pour los transformations de contact prolongées, ducs également à M. Lie; nous n'aurons pas Toccasion de nous en servir dans la suite.
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 9
Si nous posons
X^ ^(Aj
les équations du support deviennent
si l'on se reporte alors aux équations aux différentielles totales (i), on voit que, dans ces hypothèses : i^ les Z'x* ..x„ pour lesquelles on a
sont toutes nulles; 2^ on peut choisir arbitrairement, en fonction de ^'< > . . • » ^|t> les Zx*...x„ pour lesquelles on a
3** les Zx*...x, qni n'entrent pas dans une de ces catégories se déduisent par différentiation de la deuxième catégorie.
Parmi les multiplicités M^, nous distinguerons les multiplicités d'éléments telles qu'à un point quelconque du support ne correspond qu'un seul élément E'', et nous les désignerons par le symbole M^, q étant le nombre des dimensions du support.
4. C'est M. Lie qui a introduit dans la Science les notions à'éléments et de multiplicités d'éléments; on sait combien elles ont perfectionné la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. J'indique ici les principaux résultats de cette théorie que nous étendrons dans la suite de ce travail (^ ).
