COL

sont données par les formules

(XijX,, ..., X„) une droite qui décrit un système J; les )ints assemblés à D sont parallèles à ceux qui sont assemiés à une droite A parallèle à D et passant par l'origine des )ordonnées. Les coordonnées (c^j, . . ., ,r,; ) d'un tel point M

p étant une solution des équations de Laplace auxquelles satisfont les quantités X. Cela posé, des formules (lo) on déduit

par conséquent le système M est un système nul ; il en est de même de tous les systèmes parallèles, donc :

Tout point assemblé à une droite J est N.

Supposons maintenant (jue la droite D(Xi, ..., X„) décrive un système />,J; soient Yj, ..., Y^,i les coordonnées complémentaires.

Comme ici il s'agit de propriétés qui ne dépendent que de la direction des éléments, nous pouvons supposer que la droite D passe par l'origine. Les coordonnées (^Tj, . . ., .r„) d'un point M assemblé à cette droite seront

posons

(i5) ri=-^f

SYSTÈMES QUI SE RATTACIIliNT ALX SV.STÈMES O. \ij

p élant une solution des équations de Lajdace au\<juelle^ satisfont les ([uantilés X et Y. Des formules (12) on déduit

(16) :î:dx^-i-:ùdy^=o.

Cela posé, si p est une confibinaison isotrope des Y, 01» pourra, dans (16), supprimer deux des rpiantités j; si p est une combinaison linéaire, on pourra en supprimer une, donc :

Parmi les points assemblés à une droite p, 5,

cci>-'^ sont (j) — 1), \, 00/^-2 sont (y> — i), X; les autres sont />, N.

Inversement, soit M un point ((ui décrit un système N ; pour obtenir les paramètres, de toutes les droites D(Xi, , . ., X„) assemblées à M, il suffit de joindre l'origine i\ un point M'(^i, . . ., ^,j) qui décrit un système parallèle à M; on aura

donc

Posons

On aui

(20) ^<iX.-= y dx-—o.

Si maintenant S^-=zo, on pourra supprimer dans les équations (19) et (20) les coordonnées X„^, et X„+2 ; la droite D décrira un système J. Si ^a:- est une constante, on pourra réduire les deux coordonnées X„+i et X„^.2 à une seule, la droite D décrira un système 2J; enfin, si S^- n'est pas constant, la droite D décrit un système 3J. On voit alors qu'on a le résultat suivant :

Parmi les droites assemblées à un point N,

cc"-9 sont J,

3c«-8 sont iJ;

les autres sont 3J.

Scientia, n» 25. 4

5o ciiAPiTRr: vi.

D\ine mani(Me générale :

pour les droites assemblées à un point p, N,

r^n+p-i, sont /?, J,

y^H-hp-1 SQfit (^__,) J|

les autres sont (/? h- 9, ), J.

40. Passage des systèmes X aux systèmes \\. — Soii M un point qui tlécrit un système N ; ç[, TJ, •.., \'[, U, \\, ..., ;", çj, ÈJ, ..., Ç3 les paramètres normaux des tangentes MTj, AlTa, MT3 à ce point; on aura

Par l'origine, menons des droites OTJ, OTj, OT3 parallèles aux tangentes MT,, MT,, MT3; ces droites définissent un système réduit à l'origine parallèle au système M. Comme ici la direction des éléments est seule en cause, on peut raisonner sur ce système réduit comme sur le système M ; soit alors P un plan assemblé à ce système réduit; A, B, C ses points focaux d'ordre i, 2, 3; p^, p^,, p^ des solutions quelconques des équations [(i), n° 2]; les coordonnées (jri,.-r2, ...,^„) de A, (y,, /g, •••, /n) de B, ( j,, ^,, ..., ^„ ) de C seront données par les formules

i.i ii li

(22) Xi=^, yi=—y -/= — •

Pi Pi Pz

On en déduit, en tenant compte des équations (21) et des équations [(i), n° 2],

par conséquent (35), le plan P décrit un système H, donc :

Tout plan assemblé à un point \ est R.

Mn introduisant les coordonnées complémentaires d'un système /9, N et en répétant un raisonnement déjà fait plusieurs fois, on a le résultat suivant :

Parmi les plans assemblés à un point p, N,

co/'-2 sont (/? — 2),R, oc /^-i sont i p — i), R; les autres sont n, R.

SYSTKMKS Ql I SL: UATTACIIKNT ALX SYSTÈMES O. 5\

Inversement, les points assemblés à un plan ]{ peuvent être N, 2N, SN; en général, ils sont 3N.

D'une manière générale, les points assemblés à un plan p\\ peuvent étre/;N, (/?-+-i), N, {/j-\-2), N; en général, ils sont

41. Passage du système \\ aux systèmes 1. — 7'oiiie droite assemblée à un plan K est 1. — En eflet, soit P un plan qui décrit un système R; X,, X2, ..., X„ les paramètres de sa première droite focale; on aura

Soit D( Yi, Yo, . . . , \ ,1) '"•'2 droite assemblée à ce plan ; on aura

^ ()Ui

En élevant au carré et en tenant compte des équations (24), on a

(2")) iY2==0

et, par conséquent, D décrit un système I.

En introduisant les coordonnées complémentaires et en raisonnant comme précédemment, on arrive aux. résultats suivants :

Parmi les droites assemblées à un plan p\\,

00 /^ 3 sont ( p — 2 ), I, y: 1'^- sont { p — I )» 1 5 les autres sont />, 1.

Inversement, soit D une droite I, c'est une normale isotrope d'un système O; si on l'associe avec une normale isotrope perpendiculaire A, on obtient un plan D, A qui est R; si on l'associe à une normale ordinaire A, le plan D, A sera 2R; enfin, si le plan assemblé à D est quelconque, ce plan sera 3R.

D'une manière générale, les plans assemblés à une droite/;, 1 sont(/^), R; ( /^ -I- i), R ou (/? -i- 2), R; en général, ils sont