CHAPITRE VI

Si donc ./j, u-'o, ..., ^l'n sont les coordonnées de A; ;'i, Xii • • • 5 J« celles de B; :;i, ^2j • • • , ^« celles de G, on aura

Nous avons indiqué (n*' '2S) un mode de formation des systèmes R; on verra d'ailleurs, par ce qui va suivre, qu'ils peuvent toujours être obtenus ainsi; de tels systèmes n'existent que pour n:yj.

Le système décrit par le plan P sera dit un système p^W s'il peut être considéré comme étant la projection d'un système R de l'espace à n -\- p — i dimensions.

37. Passage des systèmes O aux systèmes I. — Tout point assemblé à une droite I est O. — Pour abréger, nous supprimerons dorénavant le mot système devant les mots point, droite qI plan; ainsi la propriété énoncée sous forme abrégée doit correctement s'énoncer ainsi : Tout système point assemblé à un système droite 1 est un système O.

D'une manière générale :

Parmi les points assemblés à une droite p^ I.

cc/'-3 sont p — 2, O, yzi'-- sont p — 1, O ; les autres sont />, O.

Même démonstration que dans le cas des deux, indéterminées [voir Systèmes cycliques et orthogonaux {A. E. IS., 1903, n« 24)].

Inversement, considérons un système O; parmi les droites assemblées il y eu a qui sont I, ce sont celles qui sont formées parles normales isotropes: d'autres sont 2I, elles sont formées par les normales ordinaires (n" 27); tous les autres systèmes assemblés sont 31; donc :

Parmi les droites assemblées à un point O,

oc«-5 sont I, v:"-'* sont 2I; les autres sont 3 1.

En remarquant qu'un système/?, O est la projection d'un système O de l'espace à n^ p — i dimensions, on conclut :

SYSTÈMES QUI Sli HATTACIIENT AUX SVSTÈ.MKS O. .\'J

Parmi les (hoiles assemblées à un point p^O,

yji^i)-'^ sont />, I, X" »/'-•■* sont (p-h i), I; les autres sont (/? + 2), f.

38. Passage des systèmes O aux systèmes <>. — 7^out plan assemblé et un point O est 12; c'esl la définilion des systèmes 12.

Considérons, maintenant, un point M(^i, ..., .x^) qui décrit un système 2O et soit y la coordonnée complémentaire (n° 30). Pour former un plan assemblé au point M, on se sert (n° H) d'une solution 0 des équations de Laplace à laquelle satisfont les coordonnées .r;siO=:Ay, k étant une constante, le plan assemblé sera 12; dans le cas contraire il sera 2 12; donc :

Parmi les plans assemblés à un point 2O,

Une série de plans parallèles sont q, les autres sont 2 12.

Considérons de même un point M{jc^, . . ., œ„) qui décrit un réseau p, O et soient {fy^ y,' • • • > //>-i ) ^^s coordonnées complémentaires :

Si 6 est une fonction linéaire isotrope des y, le plan assemblé est {p — 2 ), 12.

Si 0 est une fonction linéaire des y, le plan assemblé est {p — 1 ), 12.

Enfin, dans le cas général, le plan assemblé est pil.

Inversement, partons des systèmes 12; soit d'abord P un plan que décrit un système 12; A, B, C ses points focaux. Dans l'espace à trois dimensions, il y a deux points assemblés M et M' qui décrivent des systèmes O; ces points M et M' sont symétriques par rapport au plan A, B, C. Dans les espaces d'ordre supérieur il y a une infinité de points M qui décrivent des systèmes O assemblés au plan P, ces systèmes sont en nombre oo"~'; pour toHs ces svstèmes, les tétraèdres M ABC sont égaux. Nous nous bornons ici à ces indications et nous énoncerons, sans démonstration, le résultat suivant :

Parmi les points assemblés à un plan 12, dans l'espace

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à II (limensions,

oc"-2 sont iO\ les autres sont i O ;

et en remarquant ((ii'iin plan yj 12 est la projection d'un plan il dans un espace à n -r- p — i dimensions :

Parmi les points assemblés à un plan /?,i^,

cc«+/'-v sont />, O, zrJi+i>~'i sont /j 4- I, 0; les autres sont p -h -2, O.

39. Passage des systèmes N aux systèmes J. — Soit D(X,,X2, ..., X„) une droite qui décrit un système J; les poi . 1 . < —

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