OA--L
oB = —,
oG'=-'-
OÙ /?!, Pi, pz, d'une part, et ^i, y^, y^, d'autre part, sont des systèmes de solutions des équations (12), Ghapitre Y. Les paramètres directeurs de la droite D sont
(26) X — ^', (jj.2 rjs— q.ps )+ ^î, < P-i ^Ji—Pi Çs)-^^iipiq2 — q\Pï )-
On forme facilement les équations de Laplace auxquelles satisfont ces fonctions X; on vérifiera alors la j)ropriété caractéristique (82) des droites G.
En introduisant les coordonnées complémentaiies, on arrive aux résultats suivants :
Parmi les droites assemblées à un plan p, Q,
ce /^-3 sont ( p — 2 ), G, ce /'-2 so/it (p — i),G; les autres sont p, G.
Inversement, les plans assemblés à une droite G peuvent être 12, 2O0U 30; en général, ils sont 30; de même, les plans assemblés à une droite p, G peuvent être p, Q; (/j -f- 1), ii ou (/> 4- 2), <:>; en général, ils sont/? + 2, il.
43. Étude générale des singularités. — Les éléments que nous avons introduits suffisent pour les applications que nous avons en vue; néanmoins, si l'on veut faire une étude complète de la question, il faut définir les singularités d'ordre quelconque.
J'ai déjà, dans le cas de deux indéterminées, défini les réseaux singuliers et les congruences singulières (/?, g). Sur les problèmes de Géométrie {Comptes rendus, 1904» i®"" semestre). Il s'agit d'indiquer les résultats analogues pour la Géométrie à trois indéterminées. Pour cela, nous passerons en revue successivement les systèmes points, droites et plans.
SVSTli.MKS QUI SI;: HATTACIIENT AUX SVSTKMIiS 0. 33
Systèmes points. — Le système point type que nous c<jterons (o, o, o) est le système O pour lecpiel on a
ds-^ = 1 dx'^ = h\ d(t\ -\- kl (lui H- hl dttl,
les fondions A,, //,, /h étant toutes cliirèrentes de zéro.
Si maintenant on suppose hi nul, le réseau rectangulaire correspondant est singulier; nous dirons qne ce réseau est p fois singulier du coté des u^ si Ton a
et
Gela posé, si un système rectangulaire (22) est singulier p fois du côté des m,, q fois du côté des m,: ^' fois du côté des z^3, le système sera coté (/?, q, r).
D'une manière plus générale, un système point M appartiendra au type {p,qif') s'il peut être considéré comme étant la projection d'un système rectangulaire (p, q, r).
Ainsi, un système N est un système (1, i, i); un système p, N appartient au type (i, i, i).
Systèmes droites. — Le système droite type coté (o, o, o) est le système G. On sait que si Xj, Xg, . . . , X„ sont les paramètres d'une droite qui décrit un système G, ces paramètres sont solutions des équations (8), Ghapitre l*"", et que Ton a
SX2=HfU^-+-H|Ui+H2U|.
Si la fonction U, est nulle, le système est singulier une fois du côté des u^ ; si, de plus, on a
le système droite est p fois singulier du coté des Uy.
Gela posé, si un système droite est p fois singulier du côté des Ui, q fois du côté des «2^ f fois du côté des ^/g, le système sera coté (/?, q, r).
