INDICATION DE DIVERS TYPES DE PROBLEMES

50. But de ce Chapitre. — Le but de ce Chapitre est de montrer comment Jes théories qui précèdent permettent de trouver de nouveaux systèmes triple-orthogonaux . Pour cela nous chercherons les systèmes (points, plans ou droites) qui possèdent deux, propriétés, par exemple les systèmes points qui sont /?, O et ^,0; ou bien /?, O et 7, N; les systèmes droites qui sont /?, C et ^, I ; les systèmes plans qui sont /j>,R et ^,<>, etc.

Tous ces problèmes se ramènent à la recherche des systèmes O associés que nous allons définir.

51. Systèmes O associés. — Deux systèmes O décrits par les points M (.r,, ..., x„) et \ (j,, ..., j,„) sont dits associés lorsque les équations de Laplace auxquelles satisfont les coordonnées X de M sont les mêmes que celles auxquelles satisfont les coordonnées 1' de N. Il eu résulte que si

(i) Z d.jc- = /'f dii\ -r- Ii\ du'l -f- Iil dal ,

( 9. ) :ii: f//- = h \- du \ ~ Il '.f du \ — // '.^- du l ,

on devra avoir

< 3) /i'i = //i Ui, h'.,= /i.2 Uo. /<3 = hs U3,

Ui, U2, U3 étant respectivement des fonctions de Ui seul, de U.2 seul et de «3 seul.

Il est clair que, dans Pespace à /i -f- ni dimensions, le point P qui a pour coordonnées x^, ..., x,^^ j^,, ...,y,n décrit un système O, ce qui revient à dire que le système M est à la fois O et (;/i + i) O; donc :

U/i système O associé à un système O de l'espace à m dimensions est un système O, {m~hi)0 et inversement.

Il est clair d'après cela qu'il ne peut pas exister de sys-

INDICATION Iti; I)IM;US TVI'KS 1)1:; l'ROHLlÎMKS. iVi

lèmes O, 30; les plus siinj)les svslèmes sont ceii\ cjui soiil O, 40.

Une ou plusieurs des fondions Uj, U2, U.-j })euvent se réduire à des constantes; supposons qu'une seule d'entre elles, Ui par exemple, soit constante; par une liomotliétiti on peut réduire cette constante à l'unité; on aura alors

Par conséquent, le point O qui a pour coordonnées ûCxi ^2' "-^-^ni (Xii 0^2? •••? h^in décrit un système <{ui est en général un système (i, o, o). Il peut se présenter des singularités d'ordre plus élevé, par exemple si l'on avait

Le point Q décrirait un système (/?, o, o). JNous savons <jue cela n'est possible que si (n° 43)

n -i- m ^ .ip H- 3 .

Supposons maintenant que des fonctions Ui et U^, par exemple, se réduisent à des constantes ; si ces deux constantes sont distinctes, il n'y a rien à ajouter à ce qui vient d'être dit, sinon que V association est sin^'^ii Itère de deux manières; c'est-à-dire que le système M appartient aux deux types (/?, o, o) et (o, 7, o).

Si les deux constantes sont égales on pourra les réduire toutes deux à l'unité, de sorte qu'on aura, outre l'équation 4, l'équation

Par conséquent, le point Q décrit en général un système (i , 1,0) ce qui exige (n^ /i-3) que n -\- ni^'j \ s'il va des singularités d'ordre plus élevé, Q pourrait être du type {p,q,o)'., pour cela il faut que

Enfin les trois fonctions U,, U2, U3 peuvent se réduire à des constantes; si ces constantes sont distinctes il n'y a rien à ajouter à ce qui précède. Dans le cas où elles sont toutes

t)4 CllAPiTRi: VII.

égales, on peut les réduire à l'unité, et l'on voit que le point Q décrit en générai un système (i,i,i),ce qui exige n -{- m^g. Dans ce cas on dit aussi que les systèmes O, N et M sont applicables.

52. Système O, 40, espace à trois. — Soit M(.t,, œ,, ^3) un point (jui décrit un système O, 40; ce système est associé à celui décrit par un point M'(/i, jo» Ja) et Ton a

Le point M étant 40, il y a oc' droites D assemblées qui sont 41, ces droites D sont en même temps 31, puisqu'elles sont assemblées à un point O. Inversement on peut passer des systèmes 31, 4 I auN^ systèmes O, 40-

Partons de la droite D qui est 4 T, il y a zrj points 2O qui lui sont assemblés; d'autre part, la droite D étant 3 1, ces systèmes points assemblés sont 30; ainsi à tout système 31, 41 on peut faire correspondre des systèmes 2O, 30. Inversement, à chaque système 30 sont assemblées 2 droites 3 1; si de plus le système point est 2O, la droite assemblée sera 41; il y a donc équivalence entre la recherche des systèmes 2 O, 30 et celle des systèmes 3 1, 4 I-

On voit de même qu'il y a équivalence entre la recherche des systèmes O, 40 et celle des systèmes 12, 2 12.

Nous pouvons donc donner le Tableau suivant des problèmes équivalents à la recherche des systèmes O, 40 :

0, 40; 31, 4I; <), 2(); -lO, 3 3.

Le passage d'un système à un autre permet de déduire d'une solution du problème de nouvelles solutions; on a donc les transformations suivantes:

Cas particulier. — On peut supposer (|u'une ou plusieurs des fonctions Uj, U2, U3 se réduisent à des constantes; ici, si deux fonctions se réduisent à des constantes, ces constantes sont nécessairement (n°50) différentes. On a donc les

assage

<ie 0,

INDICATION 1)I-: DIVEIIS TYPKS DE PROBLKMKS. 6>

cas particuliers suivaiiLs :

1" Ui = a,

2° Ui-a, Vi=p, a^^,

J'ai cliidié ce dernier cas dans mon Mémoire Su/- une classe particulièrede systèmes triple-orthogonaux {Comptes rendus, 17 semestre 1908 ).