Systèmes <), 40, espace à quatre. — Soit

un poini (|ui décrit un système O, /|0; ce système est associé à un système M'(/,, JK25 /s) de l'espace à liois; il en résulte ({ue M' décrit un système O, 50.

Plaçons-nous d'abord dans l'espace à (juatre; au système O, 40 la loi d'orthogonalité des éléments fait correspondre un système 2I, 51. Comme dans le cas de l'espace à trois, on passe des systèmes O, 4O, aux systèmes 31, 41; puis aux systèmes 2O, 30; on peut aussi passer de O, 40 à 12, 2 12; à ces derniers systèmes correspondent, par orthogonalité des éléments, les systèmes [\W, 5R. On a donc les systèmes é(|uivalents suivants :

Espace à (pialre,

O, jO; vJ, 51; 7.0,30; 31,41; ii, 212; 4R, 5R.

Plaçons-nous maintenant dans l'espace à trois dimensions; le point M' décrit un système O, 50; on peut en déduire un système 31, 51; on peut aussi en déduire un système 12, 3 12 ; de ces deux derniers on peut déduire un système 30, 30; de 12, 3 12 on déduit des systèmes G, G qui correspondent par orthogonalité des éléments à des systèmes 5 R, 5R. On a donc les systèmes é([uivalents suivants :

Espace à trois,

d'où Ton déduit facilement toutes les transformations (pie comporte le problème.

Cas particuliers. — 1" Une des fonctions U,, LU, U3 (U, par exemple) se réduit à une constante, (|u'on peut supposer Scientia, n° 25. 5

()() (IIM'IlHi: Nil.

égale à FiiiHlé; alors :

Nous supposons de plus (|ue

2° On a, à la fois,

3" Deux des fonctions U, et Uo se réduisent à des constantes distinctes a et 3; par conséquent

Nous supposons de plus que Ton a

4'' Les égalités (ii) étant satisfaites, une seule des inégalités (12) se change en égalité.

5" Les égalilés (11) étant satisfaites, les deux inégalités (12) se changent en égalités.

6'' Les deux fonctions Uj et Uo se réduisent à des constantes égales; on peut supposer ces constantes égales à Tunité, de sorte que Ton aura

-" Dans tous les cas précédents on a supposé U3 non constant; on en obtiendra de nouveaux en faisant Ug constant; il faut remarquer toutefois (ju'on ne peut pas avoir

54. Systèmes O. 4<>, espace à cinq. — Soit]\I(j;i, ..., .rg) un point qui décrit un système O, 40; ce système est associé à un svstéme i\l'(j,, joj .Xa) de l'espace à trois, de sorte que iVl' décrit un système O, 60.

Plaçons-nous d'abord dans l'espace à cinq dimensions. Au système O, 40 correspond par orthogonalité un système 3R,

INDICATION l)i: DIVKHS TVPKS I)K PKOHMJ.MLS. Oj

GR; (l(î riiii ou rauhc de ces systèmes on déduit des systèmes 1, GI ou 31, 4I; de ces derniers on déduit des systèmes 2O, 30 ou encore 4^^» 5K; de l'un ou l'autre de ces deux derniers on déduit des •.>,!, 51,

Enfin de G, 4O on déduit des il, 2 12 qui correspondent à des 5N, ."ji\; on a donc les systèmes équivalents suivants :

Espace à cinq,

0, 4O; 20, 30; 3R, 6K; 4H, 511; 1, Gl; 2I, 51; 31, 4'; i^ 20; 5N, 5N.

Nous pouvons en déduire des éléments de l'espace à quatre. Imi ellol, soit D(Xi, X2, . . ., X.", ) une droite qui est 2I, 51; on peut suj)poser, puisque la droite \) est 2I,

La droite étant 51, il y aura quatre coordonnées complémentaires Yi, Yo, Y3, Y4 telles que

(i4) XY2.= i.

11 en résulte que la droite A(Yj, . . . , Y,J décrit dans l'espace à quatre un système 2 1, 61; les coordonnées complémentaires pour 61 étant Xi, . . ., Xg. De ces systèmes 2I, 61 on en déduit d'autres et l'on forme ainsi le Tableau suivant des systèmes équivalents dans l'espace à quatre :

Espace à quatre,

O, 50; 2O, 4O; 30, 30; 2I, 61; 5\, 51; 4I, 41; Û, 312; 2I2, 2l2; 4R, 6R; 5R, 5R; G, G; GN, GN.

Le point M' décrit dans l'espace à trois un système O, 60; on en déduit d'autres systèmes et l'on forme ainsi le Tableau des systèmes équivalents dans l'espace à trois dimensions :

Espace à trois,