CHAPITRE VIII

(liflerentes les dérivées ; — '— — et exprimer ces dérivées à

OUi au. 2 01/ :i '■

laide des dérivées du premier ordre. On vérifie, sans peine,

que les trois expressions obtenues pour ; r — sont iden-

' ^ ^ oui Ou -2 au 3

tiques. Il en résulte que, pour une valeur initiale quelconque des variables (par exemple aiz= u.,^ u^zrz: o), on pourra se donner arbitrairement les valeurs des fonctions inconnues F,, F.,, F3 et celles de leurs dérivées d'ordre cjuelconque prises par rapport à une seule variable : les équations (10) et celles qui s'en déduisent par différentiation permettent de calculer ensuite les valeurs initiales de toutes les autres dérivées, et l'on arrivera à la même valeur quelle que soit la façon de faire le calcul. Il en résulte que la solution la plus générale du système (10) comporte neuf fondions arbitraires d'une seule variable.

Il faut remarquer en outre que si Ton a une solution ([uelcon(jue du système (10) on peut en déduire une autre en ajoutant à Fj une fonction arbitraire de ^/,, à F, une fonction arbitraire de w,, à F3 une fonction arbitraire de u^. L'introduction de ces fonctions ne modifie pas les valeurs de 3,,;. données par les formules (7); donc :

La recherche de la représentation sphérique des système O, 40, c'est-à-dire le calcul des p/x:i ^^^ '^'^ problème dont la solution générale contient six fonctions arbitraires d' une variable.

38. Propriétés diverses. — Dans les formules (6) on peut donner à la constante / une valeur arbitraire; donc :

Un système 0,40 est associé à une infinité de systèmes O.

Supposons que Tune des variables, u^ par exemple, reste five, et cherchons la nature du réseau décrit par M. Pour ce réseau on a (les notations sont celles de mon Mémoire Sur les systèmes cycliques et ortJiogonaux , p. 120)

par conséquent

donc, le réseau décrit par M est associé à un réseau plan; les

LES SYSTÈMES O, /\0 DANS l'eSPACE A TROIS DIMENSIONS. 7")

systèmes triples ainsi obtenus sont composés de surfaces qui prises individuellement sont des surfaces O, 3 0.

Enfin, on vérilie facilement que, pour deux systèmes associés M et M', les rayons de courbure des surfaces correspondantes sont les mêmes.

59. Recherche des systèmes associés. — Après avoir étudié (n° 57) tout ce qui concerne la représentation sphérique, nous-allons passer à la recherche des systèmes associés ; soit M' Fun quelcon((ue des associés de M; aux systèmes M et M' correspondent les déterminants orthogonaux A et A'