II

il i-'i J: :)

Cela posé, à un système M qui correspond au déterminant A on peut de deux manières faire correspondre un système qui appartient à A'.

1° Si /il, /?2, /fi sont les fonctions de Lamé du premier système, on prendra pour le second Aj, /ij, /^ :

c'est le moyen d'obtenir des systèmes associés ;

2° Si /?!, /?25 />3 sont les distances d'un point fixe aux plans focaux de M, on pourra prendre, pour obtenir un système N' du déterminant A',

P^^-xT.P'^

Ces quantités/?' satisfont bien aux équations (.4) g = ?.,A.

11 faut remarquer que les systèmes décrits par M et N' ne sont pas associés en général. En efifet, désignons par li^, li.^, Iii les fonctions de Lamé pour le système M, par li\^ h'.^, h'^ celles du système X'; on aura [équations (22), (n° 'Ui-)\

du \

"fuPi

î^2 \P-2 "♦" .•^3 I Pi '

7<J CHAPITRE Mil.

d'où

Le sj'Slème i\' est associé à un système \, pour lec{uel les fonctions de Lamé ont les valeurs tj, G,, '^j :

donc

ou bien, en tenant compte des formules (6),

On voit (ju'en général les systèmes M et N' ne sont pas associés; mais il résulte de là que, de chaque système M dont la représentation spliéricjue est A, on peut déduire une infinité de systèmes analogues.

On en déduit aussi que, si l'on connaît des (Quantités y^i, ^2^ /?3 satisfaisant aux équations

on peut en déduire des fonctions de Lamé, Hj, IL, H3. parles formules

"3= ^'^ -^ U3U;/>3+ ?,3L?/?,+ |i,3Ul/?2.

60. Transformation du problème. — Considérons deux systèmes O associés M et M'; à tout plan assemblé à l'un on peut faire correspondre un plan assemblé à Taulre, puisque les équations de Laplace auxquelles satisfont les coordonnées M et M' sont les mêmes. Coupons, en particulier, le système M par un plan isotrope fixe; on y fera correspondre dans le

LES SYSTÈMES O, 4O DANS l'eSPACE A TRC^S DIMENSIONS. 77

système M' un plan P'qui décrit un syst('me <>, 9.il., le symétrique N' du point M', par rapport au plan V , décrira aussi un système O, 4^; nous avons ainsi une première transformation du problème (jui est formée par le passai^'^e des systèmes O, 40 aux systèmes 12, 2il.

On peut en indiquer une deuxième, par le passage des systèmes O, 4^ î^iix. systèmes 31, 41- Cette deuxième transformation n'est pas distincte de la précédente, parce que les systèmes 31,41 correspondent j)ar orthogonalité des éléments aux systèmes il, 2ii.. Ainsi, la droite M'N' décrit un système

Des systèmes 31, 4I on ^-^ 2 12 on pourra passer aux systèmes 2O, 30 et inversement, ce qui donne une autre transformation du problème.

Pour suivre analytiquement cette transformation il faut former les paramètres des droites qui décrivent des systèmes 31, 41- On y arrive facilement de la façon suivante : supposons que l'on prenne pour ^,, p.2, p^ une combinaison linéaire isotrope des quantités ^i, k^i ^31 par exemple

hi sera nul, par conséquent, quel que soit X, l->i conservera la même valeur; c'est-à-dire que tous les points N' (n° 59) décrivent des systèmes associés. Désignons d'autre part par p la distance de N' à l'origine O. On a

ou bien en tenant compte des formules (6)

(22) p^=À(/>ï-+-/^l-i-/>i)+ljf/>f + Ui/>2^U|/>|,

Mais ici, p\-^ p\-^ pl est nul; donc pour tous les points ^' la distance ON' est la même.

Soient alors N'(^'j, x^^ x'^) et N"(j:/'i, œ\^ x\ ) deux de ces points; la droite D, qui a pour paramètres directeurs x\y x\^ .j?'j, décrit un système 31, 41; les coordonnées complémentaires pour être 31 sont

-i^x'-^+X) et -(lA-'2— l), •>. 2

et pour être (\\

l OC A s ^ OC i\ y t Ou •*

7« CHAPITRE VIII. — LES SYSTÈMES O, 40 DANS l'eSPACE, ETC.

Le passage des systèmes O, 4O aux systèmes 31, 4 1 revient à prendre Ja figure inverse du système décrit par N'.

On voit que l'on peut suivre indéfiniment la transformation quand on connaît tous les déterminants A, A

On peut aussi suivre analvli(juement le passaire des 2O 30 aux 21,41.

(:iiAi>nKi{ IX.

LES SYSTÈMES O DE l/ ESPACE A TUOIS DIMENSIONS APPLICABLES SUR DES SYSTÈMES DE l'eSPACE A SIX DIMENSIONS.

61. Réduction du problème à la recherche de deux systèmes opposés dans l'espace ordinaire. — Soient iM el AI' deux jioinls situés, l'un M dans l'espace à trois dimensions, l'autre M' dans l'espace à six, qui décrivent des systèmes O applicables; les fonctions de Lamé, Ai, /ij, /i-^ étant les mêmes pour les deux systèmes, les ([uantités P//,. auront aussi la même valeur; et par conséquent des équations (24) et (3i), Cliap. V, on déduit

i cil bi -h a.2 b., -H .'/.j b;i = o, (m) { biCi -h boc, -+- b^Ci — o,

Si To

Il pose

Cl ai H- c^a^ -h C3rt3

on aura, en tenant compte des foimules (3i), Chapitre A\ := •! S-, 1 ( a 1 />i + «•> b., -h a-i 63 ) = o,

Olly

1 = 2 %i ( cil Cl -f- a.y C, -i- «3 C3 ) = o,

Oll-^

par conséquent 0 est une fonction de Ui seul ; en choisissant convenablement la variable ^^i, on peut réduire cette fonction à l'unité; on voit de môme que par un choix convenable des variables Uo et u^ on peut supposer

(3) b'I-h bl-+- bl = i, cj -t- c| + c^ = I.

Il en résulte que si l'on pose

le déterminant

Çi 5

Ci =

nt

ri'

8o CHAPITRE IX

est un délerminanl O; on a ici

Olli-

= 'pn.'^,= '^u^,

Le déterminant A' difTère du déterminant A | formule (20), Cliap. \ I en ce sens que les ^A/de Tun sont égaux aux ^,7^. de l'autre; nous dirons que ces deux déterminants O sont opposés. On voit que le problème posé revient à la recherche des déterminants O opposés.

62. Déterminants O opposés. Degré de généralité du problème. — Soient A et A' deux déterminants (.)

i 2 i :} 1 2 î :i tl t2 t3

tels qu'entre les rotations 3,/,. du premier et les rotations 3',^. du second existent les relations

(7) '^'ik^'pu-

Les quantités p,/.. doivent déjà satisfaire aux équations

ÔUi

'^il'pik ii^k-^l),

Ou. y

Oii-i

âllt Ôll\

11 faut écrire que les quantités p^,. satisfont h des équations analogues; les équations (8) ne donnent rien de nouveau; les équations (9) imposent les nouvelles conditions suivantes :

Ou,

ÔU2

Ou-i

OII3

Oiix

+ (i32|il2=0.

LES SYSTÈMES O DE l'eSPACE A TROIS DIMENSIONS.

En résumé, il s'agil de déterminer les six fonctions fJ//, de façon à satisfaire aux douze équations (8), (9) et (10). Pour discuter ce système, nous partageons ces équations en deux groupes: dans le premier, nous mettrons toutes les équations qui contiennent une dérivée par rapport à ^^3; dans le second nous mettrons les autres; de sorte que nos deux groupes sont les suivants :

h^hu

à II s

Ou,

Al

Oui

dii-^

Oh-.,

Ou-i

tyi,2

'^jL

ÔU-i

Ou

Cela posé, nous déterminerons six fonctions «, h^ a,, b, //?, n de u, et //, \^^^ '^s équations suivantes :

(>rt

oh

(fUi

— an

Orn

OUo

On

Ou Y

(ih = o,

Ou^

Ont

On

Ou,

Ou-,

axb.

La solution générale de ce système renfermera v/r fonctions arbitraires d'une seule variable.

D'après le théorème de Gauchy, le système (11) admet une solution telle que pour /^J = o on ail

1^13 =«l (^23= bx,

Scientia, iv 'lo.

H-l CIIAI'ITUK 1\.

Les 3//^. ainsi déterminés satisfont naturellement aux équations (il); je vais montrer que les équations (12) sont aussi satisfaites; d'abord pour it^:=:o les quantités désignées par A/, B/, C/ sont nulles à cause du choix des valeurs initiales des p//... Ensuite, si l'on prend une solution (juelconque du système (11) et que l'on forme les valeurs correspondantes des fonctions A/, B/, C/, on voit que les dérivées de ces fonctions, par rapport à «3, s'expriment linéairement à Taide des fonctions A/, B/, C/ et de leurs dérivées prises par rapport à Kl et à //,. Il en résulte que les fonctions A,, B/, G, qui sont nulles pour //3=:o sont nulles quelle que soit la valeur de «3.

On voit que la solution générale du problème contient .S7x fonctions arbitraires d' une variable.

63. Propriétés des systèmes opposés. — Soient M un [)oint ([ui décrit un système U correspondant au déterminant A; M' un point ([ui correspond au déterminant A'; à cause de la relation

les fonctions />i, p^, p^ du premier système satisfont aux mêmes é(|uations que les fonctions de Lamé //j, h'^^ h'.^ du second et inversement. Il en résulte (ju'à cluKjue système M, on peut Caire correspondre un système M' dans lequel les distances d'un point fixe {p\. p[,, p'.^) aux plans focaux de M' sont égales aux fonctions de Lamé du système M. On aura donc [éijuation (22), n'^ 26]

^Py o r

(lUi

\ P-^= ^^ -^?-'lzPi-^'h^P2-

De même au svstème M' on peut faire correspondre un système N, appartenant au déterminant A; les distances (P,, P2, P3) d'un point fixe aux plans focaux de N seront données par les formules

(•6) { Pz= '£;--?23/>;-i-|i2i/>n

* 3 — -rr ^ i^3i/>i — t^aPi-

du

LKS SVSTÈMKS O DE l'eSI'ACK A TUOIS DIMENSIONS. 83

Les formules (i5) et (i6) mettent en évidence le résultat suivant :

La rccJierclie. des systèmes O appartenant au déterminant A et celle des système O appartenant au déterminant A' sont deu.r problèmes équivalents.

Des formules (i5) et (i6) on peut déduire Pi, P.^, P;^ ei> fonction de py, p^, p^', en général, Pj, Po, P-j sont distincts àe Pi, Pi, pi, Wonc :

Quand on connaît un système O appartenant au déterminant 1 on peut en déduire une infinité de systèmes analogues.

64. Systèmes triple -orthogonaux pour lesquels la somme des carrés des fonctions de Lamé est nulle. —

(lonsidéions, (Tune manière générale, un système point (((ui n'est pas nécessairement un système O) pour lequel la somme des carrés des fonctions hy, h^, hz (n° 3) est nulle. On a donc

(17) hl-\- h'I -^ h'l=z o.

Difïerentions Péquation (17) par rapport éi u^] on aura, en tenant compte des équations (5), n^ 3,

(18) ^ + pl2/'•2-^ [^i3/*3 = o;

on trouverait des équations analogues en difTérentiant l'équation (17) par rapport à u^ ou U:^. Il en résulte que les fonctions //i, //.,, Ih satisfont aux. neuf équations suivantes

(«9) 'ôîii,'^^^''''^'' (^^^*>''

En écrivant (jue les é<{uations (19) et (20) sont compatibles, on trouve que les p//,. doivent satisfaire aux é({uations (10); par conséquent, si l'on pose