CHAPITRE IX
En introduisant ces variables, les si\ équations (26) el (27) se réduisent aux trois suivantes :
On voit ((ue si Ton pose
rt = Oi, /^ = 62, on a
[ Oa
J ôb
Par conséquent le problème revient à chercher les réseaux de la sphère pour lesquels m =z n \ le ds'^ de la sphère est
et. comme
ch-^= aidu^-{- b'^ dv'-
da j àb -
a— ^=^ b — = abni.
ùv Ou
on a bien la forme de Ribeaucour.
Si Ton prend maintenant les trois équations auxquelles satisfont les trois fonctions ;,, savoir
ryi,
pl3^3î
on aura, puisque p/7.= ,3/^.,,
donc les trois ((uanlités ç, sont des fonctions de u et de c ; il en est de même des fonctions i, ^t Ç3. par consé<{uent dans le déterminant
tous les éléments ne dépendent que des deux variables u et v.
67. Propriétés des systèmes de Ribeaucour. — Considércms un point M ([ui déciil un système de Ribeaucour,
I,F,S SYSTihiRS O DE LESPACE A TROIS DIMENSIONS. «Sg
c'esL-à-ilire un sysU''me O, appartenant au déterminant A que nous venons de définir; considérons deux surfaces appartenant à une même famille, par exemple les surfaces u-^—y. et /^3={j; sur ces deux, surfaces faisons correspondre les points A et B pour lesquels les difTérences //, — /r, et iu — n-^ ont la même valeur, c'est-à-dire que, si le point A correspond au système de valeurs
le poiiil lî correspondra au système
en ces deux points a et v et par conséquent les éléments du déterminant A ont la même valeur; les surfaces décrites par A et B ont leurs lignes de courbure parallèles; c'est la |)ropriété prise comme point de départ par Kibeaucour.
Maintenant, comme ici, ^/a-=: 3/,/, les équations auxquelles satisfont les ([uantités /^i, /Jj, Pi sont les mêmes que celles auxquelles satisfont les fonctions de Lamé A,, //,, /?;$.
II en résulte qu'à tout système M(/?,, />,, p-^) de Kibeaucour, on peut en faire correspondre un autre i\(P,, P21 P3) appartenant au même déterminant A. où
(35) ' P, = ^ -+-p32/?3-i- 'pi-iIH^.
Il en résulte que, si l'on connaît un système M appartenant au déterminant A, on peut, en général, en déduire une infinité d'autres. Etudions la transformation définie par les formules (35).
Tout d'abord il peut se faire ({ue les fonctions Pj, P,, P3 soient toutes nulles; dans ce cas la transformation ne donne rien; cela arrive seulement dans le cas où /?, est une fonction linéaire des ^i; p^ la même fonction linéaire des ^o» enfin /?3 la même fonction linéaire des ;, ; c'est-à-dire si Ton a
<7, /y. c étant des constantes.
()o ciiAPirni-: i\.
Il pecit se faire (jiie P,, P.- f^J solenl proportionnels à /;,. pi' Pzi c'est-à-dire que
(57) Pi=='^/>i, P2=a/>.>, p3=:a/?3;
dans ce cas les systèmes décrits par M et N sont liomoiliétiques; si Ton écrit ces conditions, on trouve pour /^,, /j^, p:\ neuf équations, d'abord les trois écjuations (35). puis les si\ équations
On vérifie que ces neuf équations forment un système complet, par conséquent leur solution générale renferme trois constantes arbitraires.
Si l'on prend pour p^, p.,, p^ les valeurs ainsi trouvées, on obtient des systèmes M(j7,, jc.,, x-^) tels que
.39) or\-\-xli-^xl= l(/il — hl-^hl).
Cette propriété se conserve si Ton fait une inversion ayant pour pôle Forigine; on a ainsi une méthode qui permet de déduire de cha({ue déterminant A de Piibeaucour un déterminant analogue; c'est une tranaformatioa du problème de Riheaucour.
On pourrait de même chercher les cas où la transformation définie par les formules (35) reproduit à un même facteur près les fonctions/?,, p-y.ps au bout de 2, 3, . . . , /i opérations. Tous ces cas existent.
68. Systèmes triples engendrés par la translation d'une surface. — Puis(|ue 3//,= 3/,/ on peut prendre les valeurs suivantes des fonctions de Lamé :
(40) Al=U, ^2-U. /'3=U.
Si Ton considère les suifaces décrites par les points A et B qui ont été définies ( n" GG), on voit que ces surfaces sont égales puisque /i, et A, ont les mômes valeurs en ces deuv points. On voit facilement ([ue Ton passe de A à B par une translation parallèle à Taxe des j.'i. On obtient ainsi tous les systèmes triples engendrés par la translation d'une surface.
Si Ton prend maintenant les valeurs suivantes de //i, //j, /^{
(40 f^i=V,-^iih /'2=;i-+-'';L /'3=;i-^^;^
LES SYSTÈMES O DE l'eSPACE A TROIS DIMENSIONS. «Jl
on formera un système triple, ((ui peut être engendré par la translation isotrope d'une surface. Pour un tel système on a
(42) li\^hl-^hl = o.
C'est un cas particulier des surfaces étudiées au n" ()!î.
Note. — I^es systèmes triples de Uibeaucour ont été signalés d'abord par M. Darboux dans sa Thèse : Mémoire sur les systèmes orthogonaux. Depuis ils ont été étudiés par M. Fouché : Sur les systèmes de surfaces triplement orthof^onales où les surfaces cl' une même famille admettent la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure {Comptes rendus, 1898, i"'" semestre) et par M. Egorow : Sur les systèmes orthogonaux admettant un groupe continu de transformations de Comberousse {Comptes rendus, 1900, 2'" semestre ).
