CHAPITRE IX

Enfin les systèmes O de l'espace à trois applicables sur des systèmes de l'espace à six sont des systèmes (3, 7N; on en déduit des ii, 5R; puis par orthogonalité des éléments des 31, C. On a donc les éléments suivants :

Espace à trois,

Les différents tableaux que nous venons de donner indiquent d'abord des problèmes équivalents, mais ils montrent surtout les diverses transformations dont le problème est susceptible.

Parmi ces systèmes, considérons en particulier les 31, C espace à trois; soient D(Xi, X2, X3) la droite qui décrit le système; Yj et Y2 les coordonnées complémentaires.

Les ({uantités X et Y satisfont aux équations (8), n° 5 et

Ton a

SX2=Hf+H|-HH2,

(en clioisissant convenablement les variables u^, Uo, u.i). Cela posé le point M(^,, j^o, J73), défini par

Xi= '-^1 p = Yi dz t Y2,

décrit un système O et, si /<,, //,, h^ sont les fonctions de Lamé correspondantes, on aura

On aurait pu former directement ces systèmes en partant des déterminants A et A' (n» 61).

66. Systèmes de Ribeaucour. Calcul des ?//,. — Dans un Mémoire Sur la théorie des surfaces courbes {Journal de Mathématiques, 1892) Ribeaucour a cherché les systèmes triples tels que toutes les surfaces d'une même famille aient même représentation sphérique de leurs lignes de courbure; il montre que le problème revient à mettre le ds'^ de la sphère sous la forme suivante :

(•23) cls'-=^du^-^'^-^dv'^.

du ôv

Depuis M. Petot et M. Lucien Lévy ont étudié les surfaces

LIÎS SVSTKMKS O DE l'kSPACK A TUOIS DIMENSIONS. 87

(|m", par un mouvenieiU de Lranslalion, eii^endienl un svsLc'me triple. Il est clair (|ue les systènjes ainsi formés rentrent dans le type de Ribeaucour; maisce(ju'il va d'important dans ces travaux, c'est de montrer qu'inversement, si l'on prend un système de Ribeaucour, il existe un système ayant même représentation sphérique <|ui est engendré par la translation d'une surface.

Ces systèmes de Ribeaucour forment une classe particulière de ceux étudiés dans ce Chapitre; ils correspondent au cas où les déterminants opposés A et A' sont identiques; on est donc ramené à la reclierciie des déterminants O de l'espace à trois pour lesquels on a

Posons alors

Les équations (23) et (24), Chapitre V, donnent

Oui Ou.2 (Ju^ H h 0.03= o,

De ces équations, on déduit facilement que chacune des fonctions 64, 0,, 63 est une solution de ré(|uation

diii âii-z (JU3

dont la solution la plus générale est

où a et V ont les valeurs suivantes :

l U = II] — 1/3, CJo) .3,