VARIÉTÉS A TROIS DIMENSIONS ADMETTANT UN GROUPE CONTINU
29. Nous allons appliquer les résultats précédents à la détermination de types canoniques pour les variétés admettant un groupe continu de transformations en elles-mêmes. Nous ne traiterons entièrement le problème que pour les variétés à trois .dimensions. Dans ce cas particulier, M. Bianchi (*) a donné une solution complète pour les variétés à groupe réel, et à ds^ défini positif. Nous laisserons de côté ces restrictions; il serait, d'ailleurs, aisé de voir directement quelles modifications elles apporteraient aux résultats obtenus.
Considérons d'abord une variété quelconque Xtj x^y . . ., ^/i, ds^, admettant un groupe continu. Soit
une transformation infinitésimale de ce groupe, X^*^F(j;, dx) la transformation prolongée correspondante. On doit avoir l'identité
qui conduit à — équations du premier ordre auxquelles doivent satisfaire
les $ : équations données par M. Killing (^). Ce sont les équations de définition (^) du groupe de la variété. En les dérivant on peut obtenir des équations du second ordre que l'on peut résoudre par rapport aux dérivées secondes de Ç. Nous n'écrirons pas les formules de Killing; mais nous utiliserons les propositions suivantes qui en résultent immédiatement :
Le groupe de transformations d^une variété en elle-même n^ admet j amais de transformation infinitésimale d^ ordre égal ou supérieur à deux (*).
(*) Bianchi, Sugli spazi a tre dimensioni, etc. (Mémoires de la Société italienne des Sciences, série III, t. XI, p. 267.) (*) Killing, Ueber die Grundlagen der Géométrie (Journal de Crelle, t. 109, p. 121 ). (') Lie-Engel, Transfor mations gruppen y I, p. 184. (*) Ibid.y p. 191.
4o É. COTTON.
Deux transformations infinitésimales du groupe de transformations d^une variété en elle-même ne peu\fent a^oir leurs trajectoires communes (*).
30. La première de ces remarques permettrait de simplifier la détermination des types possibles pour les groupes de transformations d'une variété en elle-même. On sait (2) qu'à tout groupe G d'une multiplicité x^y X2j ..., x„, et qu'à tout point P(^î, . . ., x^) de cette multiplicité est attaché un groupe linéaire et homogène r, indiquant comment G transforine les éléments linéaires passant par P. Si G est le groupe de transformations d'une variété en elle-même, F laisse invariante une forme quadratique à coefficients constants (P est fixé). On peut donc déterminer les formes possibles du groupe F. Cela fait, si G est transitif, un nombre fini d'opérations efTectuables et l'intégration d'équations différentielles ordinaires donneraient les symboles des transformations infinitésimales de G. Ce cas particulier de la détermination d'un groupe transitif est plus simple que le cas général, parce que l'on n'a pas à considérer de transformations infinitésimales d'ordre supérieur à un. C'est d'ailleurs la méthode employée par M. Lie dans ses recherches sur le problème de Riemann-Helmholtz ('). Nous pourrons nous dispenser de la recherche précédente dans le cas de trois variables.
Une fois connus les divers types possibles pour les transformations infinitésimales d'un groupe de transformations d'une variété en elle-même, on obtient les variétés correspondant à l'un de ces groupes de la façon suivante. On écrit que les équations de définition du groupe de la variété sont vérifiées par les transformations infinitésimales du groupe donné. En considérant les relations obtenues comme des équations aux. dérivées partielles, où les fonctions inconnues sont les coefficients du ds^, on obtient un système différentiel qu'il ne reste plus qu'à intégrer. C'est la méthode qu'a suivie M. Bianchi, en faisant usage, en outre, de considérations géométriques qui simplifient beaucoup l'étude du système diffé- ' rentiel précédent. M. Bianchi recherche d'abord les variétés correspondant aux groupes dont les transformations infinitésimales X.f sont formes linéaires indépendantes des dérivées de /. Dans ce cas, comme nous l'avons vu précédemment, l'intégration du système différentiel revient à la recherche des transformations infinitésimales échangeables avec celles du groupe donné.
31. Limitons-nous maintenant au cas de trois variables. Nous allons examiner les diverses hypothèses possibles {*) pour le groupe de transformations de la va-
(*) Bianchi, Mémoire cité, p. 27*2.
(*) Lie-Engel, Transf or mations gruppen, I, p. 6o3. (8) Lie-Engel, Transformationsgruppen, III, Chap. 17. (*) Voir les § 5 et 36 du Mémoire cité de M. Bianchi.
riété en elle-même. Rappelons que ce groupe est nécessairement fini et comprend au plus si^ paramètres.
Si le groupe en question, que nous désignerons par G, n'est pas continu (se réduit, par exemple, à la transformation identique) les coefficients du ds^ peuvent être des fonctions quelconques des variables Xt, X21 oc^\ mais on peut toujours, et d'une infinité de façons, trouver un changement de variables ramenant le ds^ à ne contenir que les carrés des différentielles (*).
Si G est à un paramètre, on a, de suite, un type canonique pour la transformation infinitésimale G et la méthode du Chapitre IV (n^ 25) est applicable.
Si G est à deux paramètres, on peut le considérer comme engendré par deux transformations infinitésimales Xj/, X2/. Ces deux transformations infinitésimales ne peuvent avoir leurs trajectoires communes, et, par suite, X</, Xj/ sont formes linéaires indépendantes des dérivées de f. Ayant choisi des formes canoniques pour X</, Xq/, on aura les ds^ des variétés correspondantes par la méthode du n*» 25.
Si G est à trois paramètres, il faut distinguer deux cas. Si G est intransitif, on considère un sous-groupe à deux paramètres de G (on sait qu'il existe toujours). On est alors conduit à rechercher dans quels cas les ds^ précédemment trouvés, donnés par un groupe à deux paramètres, admettent un groupe plus grand. Si G est transitif, il est simplement transitif; on détermine des types canoniques auxquels on peut ramener de pareils groupes; et à chacun de ces types on applique la méthode précédemment indiquée (n® 25).
Enfin le cas où G est à plus de trois paramètres se ramène aux précédents. En effet, tout groupe à plus de trois paramètres admet des sous-groupes à trois paramètres. On cherchera donc dans quels cas les ds^ précédemment trouvés admettent des groupes à plus de trois paramètres.
Nous avons conservé cet ordre pour l'exposition des résultats trouvés. Pour tous les groupes dont les transformations infinitésimales Xy*sont formes linéaires indépendantes des dérivées de f nous indiquons le système choisi pour les formes l{dx) et la substitution S correspondante. (Voir Chapitre précédent, n*»- 26 et 27.)
Groupes intransitifs.
32. On peut prendre pour forme canonique de la transformation infinitésimale d'un groupe à un paramètre
Le groupe correspondant laisse invariantes les fonctions des variables ^2? ^3 ^t
(») Fot> Ghap. III, n» 18.
les formes
Les ds^ correspondants sont donc réductibles à la forme canonique I ^ ^ij ( ^î> -^8 ) dxi dxj,
que Ton pourrait simplifier encore à Taide de la substitution (*)
les cp étant fonctions quelconques de 0:2, ^s, c une constante arbitraire.
Les groupes intransitifs à deux paramètres n^admettant qu'un seul invariant sont semblables (^) soit au groupe engendré par
soit au groupe engendré par
Les deux groupes précédents admettent Xi comme invariant. A Ta on peut faire correspondre les formes
Lj /,• ( dx ) =1 dxf,
et la substitution
les f sont fonctions arbitraires de. 27 1 seul; les a sont des constantes arbitraires. Une forme quadratique des variables /|, /a, /a, dont les coefficients sont fonction de Xt seul constitue le ds'^ d'une variété admettant le groupe T2. Les substitutions S^ permettent de réduire une pareille forme à l'un des types canoniques suivants :
II dx]-h a^^dx]-^ ^a^idXfdx^-haadxl,
ir a{dx2-h bdXfY-^- ^àdxidx^;
les lettres a et b désignent des fonctions de x^.
On s'assure, de même, que l'on peut faire correspondre à T3 les formes inva-
(*) Nous écrirons toujours de cette façon abrégée les substitutions S; nous supprimons, en outre, les accents des seconds membres des équations (i3) du n** 26. (*) Voir Lie-Engel, Transformations g ruppen, Ab. I, Ghap. XfX.
riantes
Ls l^[dx)-=:dxxf l^{dx) zzzdxij l^{dx):=.dxi — x^dx^,
el la substitution ( * )
?' /, '{^ désignent des fonctions arbitraires de a;<; 'f', *y^', tj^', leurs dérivées. On vérifie aisément que le ds^ d'une variété correspondant au groupe étudié peut être ramené à Tune des formes canoniques
111 dx\ -T- a,j dxl -H 2 «j, dxi{dx^ — x^ dx^) H- a^^ ( dx^ — X3 dx^ )^,
III' a(dx^ — x^dx^Y-\- 2 dx^[dx^-\- hi^dx^ — x^dx^)\,
\\V adx\-\- idx^{dxz— x^dx^-k- bdx^);
les lettres a et b désignent des fonctions de x^ .
33. Il nous faut maintenant rechercher dans quels cas les ds^ donnés par les deux groupes précédents admettent un groupe intransitif à plus de deux paramètres. Nous observerons, pour cela, qu'un groupe laissant invariants à la fois x^ et ds^ laisse aussi invariants dx^ et le covariant quadratique if(Xi^dx), attaché à Xi et ds^ (défini au Chap. I, n® 4.) De l'ensemble de formes ds^, ?('^*> dx), dxt nous pourrons, en général, tirer un système de trois expressions de PfafT invariantes, équivalent au système L2 ou au système L3 suivant le ds^ dont on est parti. Il est alors aisé de voir que le groupe dont on est parti est le groupe le plus général, laissant Xi et ds^ invariants. Si, au contraire, l'ensemble ds^^ o{xiydx), dXi ne donne pas un système de trois expressions de PfalT, il peut arriver que l'on ait un groupe à plus de deux* paramètres laissant invariants ^1 et ds^.
Le calcul des formes c5(a?i, dx) n'offre aucune difficulté et conduit aux résultats suivants.
Pour le ds^ désigné par II, on a
(i) <?(-2^i> ^«27) = a'jj dx\ •+- 2aj3 dXidx^-\' a'j, dx\^
les lettres accentuées désignant les dérivées des fondions correspondantes de x^.
(^) Pour déterminer S3, on a cherché directement les changements de variables de la forme a7i=oi(iF'| ), a?î=cpj(jr', ,37,, ar'j), Xi= ^i{x\,x\^x'^)^ transformant -p-^ ^'^"a ^" ^^^ combinaisons linéaires à coefficients constants de -r^> e^« t^'
Considérons, avec celte forme, l'expression
(2) ds^—dx\ :=.attdx\ H- lat^dx^ dxi'\' ai^dx\.
L'ensemble des deux formes (i), (2) et de dx^ donne un ensemble de trois expressions de PfafT équivalent (*) à Tensemble L^, sauf dans le cas où «22? ^23? ^33 s^°^ proportionnels à «22» ^28> «33> c'est-à-dire lorsque les rapports mutuels des a sont des constantes. On peut alors, par une substitution convenable S2, ramener ds^ à la forme
IV dx\ 4- a{x^){dx\ -\- dx\)^
qui admet manifestement le groupe à trois paramètres engendré par
On trouve, pour le ds^^ IF,
9(j?i, dx) 1= ab^dx^-^ bdx^)dxx,
et Ton en conclut aisément que si b' n'est pas nul, IF n'admet que le groupe Tj. Si b' est nul, b est une constante que l'on réduit à zéro par une substitution Sj ; on ramène alors, par un changement de variables, ds^ à la forme
V a{xx){dx\'{- ^dx^dx^), admettant le groupe engendré par
^' ^'-^-d^,' ^'J-d^,' ^'-^--^'^^ ^'dx,
Pour le rf^SlII,
<p(j?,, dx) r= a'jj dx\ -i- aa'jj dx^{dx^ — x^dx^) -h a'^^idx^ — x^dx^y.
Dans ce cas encore, ds^ n'admet un groupe à plus de deux paramètres que si les rapports mutuels des a sont des constantes. Dans ce cas, une substitution S» ramène ds^ à la forme
VI dx\ -H a{x^)[dx\ -\- {dx^— x^dx^y], admettant le groupe
(«) Voir Chap. JV, n° 24.
Pour les ds^, III' et IIF, on a respeclivement
9(^1, dx) ■=. a{dxi — x^ dx^Y-^- b{dxi — x^dx^) dx^y (^(xy, dx ) "=. dx^ dxi,
et l'on s'assure aisément que les ds^ considérés ne peuvent jamais admettre un groupe intransitif à plus de deux paramètres.
Groupes transitifs,
34. Avant d'examiner les différents types de groupes G simplement transitifs, indiquons une méthode pour déterminer les substitutions S (n** 27) correspondantes. Tout revient, comme on sait, à trouver les substitutions linéaires à coefiicients constants, qui, effectuées sur les transformations infinitésimales A// du groupe réciproque F, n'altèrent pas les constantes de structure.
En désignant par cm^ ces constantes, on a
Le groupe F élant à trois paramètres, on peut considérer, avec M. Lie (*), la forme bilinéaire
Soient
deux transformations infinitésimales de F, on a
en remplaçant M|, 1/2» Ws respectivement par a2P3 — ^3^2^ ^3^, — a,p8, a,p2 — ^tip\ • Exprimons les A// en fonction de trois autres transformations infinitésimales A'ff de F, •
et faisons correspondre aux constantes a et p des constantes a', p' telles que (*) Lie-Engel, Transformationsgrupperij Ab. III, p. 718.
Ton ait
Soit <ï>(w', i^') la forme bilinéaire correspondant aux A'. En remplaçant les ii comme précédemment, et, d'une façon analogue, u\ par a^p, — a, P'^, ..., on a évidemment
Mais il est facile de déterminer la substitution linéaire exprimant les u en fonction des u' et de remplacer alors l'identité (4) par la suivante,
F(A(p,A/) = <Ii(A'9,A7)|A|,
en désignant par | A | le déterminant de la substitution (3), parc une fonction quelconque différente de/. On conclut de là le résultat suivant : Les substitutions cherchées sont celles qui, effectuées simultanément sur les deux séries de variables de la forme F(A{p, A/), reproduisent celte forme multipliée parle déterminant de la substitution. De là résulte la règle suivante :
On détermine d'abord les substitutions (3) qui, effectuées sur les A/ et les Aç, transforment en elle-même F(Ay, x\/). La substitution cherchée est alors
Remarquons encore que si le discriminant de F(A'^, A/) n'est pas nul, | h\ est égal à ±:i,et que les substitutions cherchées transforment en elle-même, au signe près, la forme F(A-^, A/).
35. Les transformations infinitésimales d'un groupe simplement transitif à trois variables peuvent être ramenées à l'un des types (5), (7), T7, Tg, T9 exarninés plus loin.
Pour chacun de ces types, nous indiquons les transformations infinitésimales XJ choisies pour le groupe réciproque et la forme correspondante F(A'^, A/).
Le groupe
laisse invariantes les différentielles dxi. Les coefficients de la substitution S sont des constantes quelconques. On peut toujours ramener les ds^ correspondants
à la forme euclidienne
(6) ds' =: dx\ 4- dx\ -I- dx\.
Le groupe
(X,X,)=:(X,X,) = o, (X,X,) = X,/ conduit à
(8) l^(dx) =z dxi-h Xidx^f li{dx) =^dXif l^(dx) =^ — dx.^,
(9) S /i, /j, I3; «11^14- «ij/i-t- «ij/s, «ij^î-H «jj/s, «sî^+^ïJ^a*
Les a sont des constantes et a,, est égal à a22a33 — 0L2ZCIL22' On a deux tjpes possibles pour ds^,
(10) C[dx\ 4- dxl -h 2x1 dxfdx^-h (i -f- x^dxll^
(11) C[c/j?5 4- 2 ^/jT, (^a?2+ -^^j ^-f's)]»
C désignant une constante quelconque.
Au groupe
(X,X,)--=o, (X,X,) = X,/, {X,X3) = X,/+X,/ correspondent
L^ li{dx)=:dxi, l^{dx) = e* {dx^-i- Xx dXi), l^{dx) =1 e* dx^,
F( Ao, A/) = A,9 A,/-h i ( A,<p A3/— A39 A^/),
On peut alors ramener les ds^^ correspondants à l'une des formes
Vil C {dx\ -H- ce^x{dx^ -h x^ dx^ )* -4- e^i dx\ ],
Vir Ç\dx\ -h 2ce^i{dXi-h x^ dxi)dx^'\,
Jr,
VU'' e^i(d/^,-f- Xi dx^y-j- 2 ce* dxi dx^y
(12) e^i c^^l -h 2 ce ' cfj:i ( d/j7, -4- x^ dx^ ) .
Le groupe
(X,X,)=o, (X,X,) = X,/, (X,X,) = /iX,/
(/t désigne une constiinte) donne
Lj /| (^a?) =: c^'^i ^JTa, l^{dx) =z e^x dx^^ l^{dx ) = dxi,
F( A9, A/) = A, 9 A,/— ^Ajo A,/,
^8 M> *2» *3? ^11*1 ~H «13 '3, «iî'j+«î3*3> 's*
On peut ramener ds^ à l'une des formes
VllI C{dx\ H- c*-^. dx\ -h 2cc<''+-»)^« ^^j ûf^Ta H- c«'''. dxl ),
Vlir C(rf.2:; 4- 2eï'^-^*)*. rfx, c/^,-h ce*-^t d/.rj ),
Vïir {e^xdXi-h ce^'''^ dxi)^ -^ 2e^''x dxi dx^y
G et c sont des constantes.
Le dernier groupe à étudier est
dx\ * dx^ dx^ -^ dx^ dr^
Nous prendrons
âx, oxt 0x3
et
I/j ( dx ) r= dx^ — x^ dx%y Ix(dx) = dx^-h 2Xi{dXf — x^ dxi)f l^{dx) = dxi H- Xi dx^ H- x\{dXi — x^ dx^),
La forme bilinéaire F(A^, \/) est la forme polaire de la forme quadratique
et Ton voit alors aisément que les substitutions Sq sont celles qui transforment en elle-même la forme 4?4 ^3 — ^« Nous prendrons
IX f/5' =r \^ dj li (dx)lj{dx)y
les coefficients c/y étant des constantes. On réduirait le nombre de ces constantes à Faide des substitutions S9 ; mais, comme nous n'aurons pas de calculs à effectuer avec les ds^ de ce type, nous n'effectuerons pas cette réduction.
36. On obtient des types canoniques pour les ds^ admettant des groupes plus étendus que les précédents, en complétant l'étude des ds^ donnés par les groupes à trois paramètres. Examinons d'abord ceux de ces ds^ dont le groupe est inlransitif, c'est-à-dire les ds^, IV, V, VI.
La méthode du Chapitre II, n^' 11 et 12, conduit sans difficulté au résultat suivant. Pour que le ds^
IV dx\-{- a{x^){dx\-}-dx\)
admette un groupe à plus de trois paramètres, il faut que — -7— soit une con-
stante ; mais la variété correspondante est alors une variété euclidienne ou une variété à courbure constante. Les types canoniques de ds^ de ces variétés sont bien connus (voir n® 39).
La même méthode appliquée au ds^, V, conduit à diff*érentes hypothèses que nous allons indiquer. Pour plus de simplicité, nous désignerons par des accents les dérivations relatives à la variable Xf,
Le paramètre différentiel D/*du ds^
V ds^ =za{Xt){dxl-h 2dxidx2) se réduit à ^^ ( -—- j en posant
ka^
5o É. COTTON.
Donc, si p^ est nul, c'esl-à-dire si a est de la forme -p-^ (c et <i étant
(C^j — H Cl)
des constantes), on a une variété euclidienne.
Si P e^^ différent de zéro, la condition nécessaire et suffisante pour que le dsconsidéré admette un groupe à plus de trois paramètres est la suivante : L'expression
est une constante. On peut déduire de là la forme que doit avoir a, en déterminant d'abord —^ au moyen d'une équation du second ordre facile à intégrer.
Mais on vérifie directement, en suivant la marche indiquée au Chapitre II, que la variété considérée est applicable sur la variété dont le ds^ est
e'^1 dxl -h le^^^i.dxi dx^.
Ce dernier ds^ a déjà été étudié (Chap. II, n° 12); nous le retrouverons plus loin (XIII).
Il reste à examiner le ds^y VI. Un changement de variables permet de le ramener à la forme plus simple
dx\ -\-a{x^){dx\ -f- e'^'tdx\).
L'étude directe des équations de définition du groupe correspondant est ici plus simple que l'application de la théorie générale. Cette étude a été faite par M. Blanchi (*), qui a obtenu ainsi les résultats suivants : Le groupe du ds^ précédent est à plus de trois paramètres si l'expression a" a — a'^ est une constante; les ds^ correspondants ou bien sont à courbure constante, ou bien sont réductibles à un type canonique examiné plus loin (XI).
37. Examinons maintenant les ds^ donnés par les groupes simplement transitifs. On applique sans difficulté la méthode et les formules {^) du Chapitre II aux ds'^ correspondant aux groupes autres que Tg. Voici les résultats obtenus :
Le ds^ (lo) ou
X Çs[dx\ -^ dx\ -\-iXi dxidxt-^ (i-f- x\)dxl]
admet toujours un groupe à quatre paramètres; il est aisé de voir d'ailleurs que la substitution T définie au n'' 27 ne se réduit pas à la substitution identique.
(1) Paragraphes 10 et il du Mémoire cité.
(») Voir les formules au n" 12.
SUR LES VARIÉTÉS A TROIS DIMENSIONS. 5r
Le groupe correspondant est engendré par les transformations infinitésimales
àf
\ ^'•^-•^^Â^'^ï^'^' "^'^5^ '""'dx
.{X,X,) = (X,X,) = (X,X4) = o, (X.X,) = X,/, (X,XO = -X,/, (X,XO = X./.
Le ds^ (il) est euclidien ;
Les ds^^ VII, VII', VIF n^admettent jamais de groupe à plus de trois para mètres;
Le ds^ (12) est euclidien;
Le ds^^ VIII, admet un groupe à plus de trois paramètres dans les cas suivants
1" A = 1 ; la variété correspondante est alors à courbure constante;
•2* A == o ; le ds^^ VIII, devient alors
XI C ( dx\ -f- e*^« dx\ -H 2 ce^t dx^ dXi 4- dxl )
admettant le groupe à quatre paramètres correspondant à
\ '*' ùx^ •' dx^ '-^ c?x, dx^
) V /— ^/ i /^?z!!l A ^/ __ ^- EL
(X,X,) = (X.X.) = (X.XO = o, (X,X,) r— x,/, (X,XO = X,/, (X,X,)=-X,/.
Le rf^^, Vlir, admet un groupe à plus de trois paramètres si A =i i , ou si h = o. Dans le premier cas, on a un ds^ à courbure constante; dans le second cas, on a lerf^»
XII • Ç.{dx\->r'^e^^dx^dx^-^cé^^xdx\)
admettant le groupe à quatre paramètres :
y^ f^ àf , df àf df
X/^^-^-^-^-h.-.*^, * ^ ôxi 2 âx^ ôx^
(X.X,) = (X,X,) = (X,XO = 0, (X,X,) = x,/, (X.X»)=-X,/, (X,XO = X»/.
Enfin, le ds^^ VIIF, admet un groupe à plus de trois paramètres lorsque A = o (on a alors un ds^ euclidien), ou lorsque c=: o, ce qui donne
XUI e'*i da^l -h 2 e^^t dx^ dx^,
admettant le groupe (* )
( ^-^ h — 2 àXi * àx^ '
(X,X,) = o, (X,X,):.= X,/, (X,X,)==yiX./,
(XiX,)=rX./, (X,X4)=:o, (X3X0 = (i-/i)X,/.
38. Examinons enfin les ds^ du type IX. Supposons le groupe F d'un pareil ds^ plus grand que le groupe Tg; le nombre des paramètres de F est 4, 5 ou 6.
Supposons F à quatre paramètres. F admettant un sous-groupe simple à trois paramètres, le groupe T^, ce sous-groupe est sous-groupe invariant {^) de F. D'après le n° 27, la substitution T ne se réduit pas alors à la substitution identique, la réduction canonique de la forme ds^ indiquée au n® 27 est alors possible d'une infinité de façons. Il serait aisé, par suite, de former des types canoniques pour les ds^ (IX) admettant un groupe F à quatre paramètres; mais cela est inutile. En effet, il n'existe pas de groupes à quatre paramètres n'admettant comme sous-groupes à trois paramètres que des sous-groupes simples, et, par suite, tous les ds^ admettant des groupes à quatre paramètres sont réductibles à Vun des types canoniques précédemment trouvés.
Si le groupe T est à six paramètres, on a une variété à courbure constante; le ds^ est réductible à un type canonique connu. Cette circonstance se présente évidemment lorsque les formes ds^ et 4'< ^s — il ^^ diffèrent que par un facteur constant.
Démontrons enfin qu'il n'existe' pas de ds^ admettant un groupe F à cinq paramètres. En effet, il existerait alors (Chap. II, n*" H) une transformation infinitésimale échangeable avec celles de F; le groupe F serait systatique (*). Considérons alors le sous-groupe y de F, laissant invariant un point x\^ x\j x\ de situation quelconque. D'après un théorème de M. Lie (^), ce sous-groupe serait sous-groupe invariant d'un sous-groupe y' de F, plus grand que y. Or, y étant à
(1) Si A = 2, on remplace —, ^ par Xx dans X^/.
(*) LiE-ScHEFFERS, Vorlesungen uber continuierliche Gruppen, p. '}-9.. (') Lie-Engel, Transformations grupperiy Ab. I, p. 5io. (*) Lie-Engel, Transformationsgruppen, Ab. J, p. 52o.
deux paramètres, on peut supposer y' à trois paramètres. Comme ^ admet un sous-groupe invariant, il est réductible à l'un des types entièrement étudiés et qui ne donnent jamais, d'après ce que nous avons vu, des variétés admettant un groupe à cinq paramètres (*).
39. Rappelons enfin les formes canoniques connues des ds^ à courbure constante (*).
Le ds^ euclidien
XIV dx\ 4- dx\ -+- dx\
admet le groupe à six paramètres engendré par
Le ds^ à courbure constante >
^dxJ^i — ^xlX^l ^xic dx^
admet le groupe donné par
'-' ~~ ^1 Xi; — *" ^2 X;; — ^ *^s TSTT ' Cro^i C/JCj oXz
En résumé :
Les ds^ à trois variables admettant un groupe continu sont réductibles à Vun des types canoniques I, II, III', III, . .., XV.
Ces types canoniques admettent respectivement les groupes engendrés par 1 1, i2) . . ., 1 15.
(*) Voir le Mémoire de M. Bianchi, § 36, 37.
(') Lie-Engel, Transformationsgrupperiy Ab. III, Chap. XVII I.
Nous avons conservé à très peu près les notations de M. Bianchi. 11 est aisé, dès lors, de voir que les ds^ de M, Bianchi correspondent aux types canoniques désignés par les chijfres romains non accentués (en écartant toutefois le ds'-^ V). La transformation de passage desrfs^ de M. Bianchi aux ds^ précédents pourrait d'ailleurs introduire des imaginaires, puisque nous n^avons fait aucune distinction entre les éléments réels et imaginaires.
Observons enfin que Von obtiendrait sans difficulté des types canoniques pour les variétés à trois dimensions à ds^ défini positif admettant un groupe continu de représentation conforme sur elles-mêmes.
Le problème de la représentation conforme se ramenant, d'après le Chapitre If, à celui de l'application, il suffirait de chercher la variété principale correspondant à chacun des types canoniques de M. Bianchi. On voit d'ailleurs aisément que plusieurs des variétés considérées sont susceptibles d'une représentation conforme sur l'espace euclidien.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 3i juillet 1899,
Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,
