Soit (5) X/i

une transformation infinitésimale quelconque de la multiplicité ;ri,a;2, ..> ^n- Prolongeons (*) X/, la transformation obtenue

est relative à la multiplicité à 2/1 dimensions Xi^ dxi. Dans Fidentité

(7) dXf(x) = K^')d/ix),

exprimons les différentielles rfX/et df au moyen de (2), l'identité obtenue peut s'écrire

(8) ^ln(dx)iAn\)/^^Akf'S.<'> Ik(dx).

Supposons tous les X^*^ l/t(dx) nuls; autrement dit, supposons que les lk{dx) admettent la transformation X^^^F (on dit aussi admettent la transformation Xy), le second membre de l'identité précédente se réduit à zéro, et, par suite, tous les crochets (AAX)/sonl nuls. En résumé :

Si les expressions de Pfaff l{dx) admettent la transformation X/*, les transformations infinitésimales associées sont échangeables avec ILf et réciproquement,

(La réciproque est vraie parce que tous les kf ne peuvent être nuls en même temps.)

La proposition précédente ramène la recherche des systèmes (i) d'expressions de PfafT invariantes vis-à-vis des transformations d'un groupe G donné, à celle des transformations infinitésimales échangeables avec celles du groupe G. Ce dernier problème est bien connu (^) et nous conduit aux propositions suivantes :

Soient X,/ les transformations infinitésimales d'un groupe G, nous suppo-

(*) Lie-Engel, Transformations gruppen y I, Gh. 23. (*) Lie-Engel, Tr ans for mations gruppen, I, p. 376.

serons qu'il n^ existe entre elles aucune relation de la forme

(9) ^9ii^u ^î, •.., ^/i)X,/=o.

Il existe alors une infinité de transformations infinitésimales échangeables avec celles de G. Choisissons /i de ces transformations de façon que leurs symboles A^/ soient formes linéaires indépendantes des dérivées de /. Les expressions de Pfaff lk{dx) associées aux h,fff à l'aide de (2) sont invariantes vis-à-vis des transformations de G.

11 j a une inGnité de systèmes de n transformations infinitésimales L//, fc/rnïes indépendantes des dérivées de f et échangeables avec celles de G. L'un quelconque de ces systèmes se déduit du système choisi Kkf par une substitution linéaire à déterminant non nul, les coefficients de la substitution étant des invariants de G. D'ailleurs, à toute substitution linéaire effectuée sur les Aa/ correspond une substitution linéaire effectuée sur les expressions de Pfaff associées. Par suite :

// existe une infinité de systèmes de n expressions de Pfaff invariantes vis'à-vis des transformations d'un groupe G de V espèce indiquée. Tous ces systèmes s'obtiennent à partir de l'un d'entre eux par des substitutions linéaires à déterminant non nul, dont les coefficients sont des invariants de G.

Nous dirons que ces divers systèmes sont équivalents.

Inversement, en effectuant, sur un système d'expressions de Pfaff /^(t/a:) invariantes vis-à-vis de G, une pareille substitution, on obtient encore un système de n expressions de Pfaff invariantes vis-à-vis de G.

25. Considérons une forme de différentielles F(;r, dx) invariante par les transformations du groupe G. Nous pouvons y prendre comme nouvelles variables les expressions de Pfaff /(rf:r) précédemment définies. Il suffît de résoudre les équations (i) par rapport aux différentielles (ce qui est possible puisque les l(dx) sont linéairement indépendantes) et de porter les valeurs trouvées dans F(x, dx). On obtient ainsi une forme

^[x, l{dx)]= 2 A.ij^...,p{Xi,Xi, ..,, xjli{dx)lj{dx) ... lp{dx).

hh

La condition nécessaire et suffisante pour que ^ soit invariante vis-à-vis de G s'obtient en écrivant que X^*^^ est nul, X^^^F étant la transformation prolongée d'une transformation arbitraire Xy du groupe G. Or, X^*^ lk{dx) est nul quel que soit k. De plus, les A ne contenant pas les différentielles,. les deux exprès-

sions X^*^ A et XA sont identiques. On doit donc avoir

\(^)^= 2 XA,,y pli(dx)lj{dx)...lp{dx) = 0.

Cette identité ne peut avoir lieu que si tous les XA sont nuls, c'est-à-dire si les A sont invariants de G. Donc :

Toute forme de différentielles invariante vis-à-vis de G est une forme des variables l{dx), les coefficients de cette dernière forme étant des invariants de G.

La réciproque de cette proposition est évidemment vraie.

On démontrerait, d'une manière analogue, qu'une forme F(;r, dxy 8x, . . •) de plusieurs systèmes rf, 8, ... de différentielles des variables x^ invariante vis-à-vis de G, s'exprime en fonction des systèmes correspondants l{dx)y /(8jj), ... et des invariants de G.

On établit aisément, d'une façon directe^ la proposition suivante, en quelque sorte corrélative de la précédente :

Un paramètre différentiel du groupe G s^ exprime en fonction des transformations infinitésimales Af(f échangeables avec celles de G et des invariants de G.

Remarquons enfîn que, si G est transitif {W est alors simplement transitif) les invariants précédents sont des constantes.

26. Le groupe G satisfaisant aux conditions du n° 24, étant ramené à une forme choisie comme forme canonique, on déterminera les formes l{dx). Il est naturel de prendre ces formes aussi simples que possible; mais, ce choix fait, on peut encore, par un changement de variables convenable, modifier les formes de différentielles invariantes vis-à-vis de G, et cela sans changer la forme adoptée pour les transformations de G, ainsi que nous allons l'expliquer.

Désignons par

(lo) ^if = ^iij{^u -ï^î» .... -^n)-^

les transformations infinitésimales de G, et par li(dx) les expressions de Pfaff choisies, invariantes vis-à-vis de G. 11 existe des changements de variables

(il) '^« = 9«('^i> «^1» • • •> -^Ii)»

transformant le groupe G en un groupe G' relatif à la multiplicité x' et admettant

pour transformations infinitésimales

les fonctions i/y étant les mêmes que plus haut. Les transformations (ii) jouissant des propriétés précédentes forment un groupe (fini ou infini) que nous appellerons H. H est le plus grand groupe admettant G comme sous-groupe invariant (*); et l'on sait que les équations finies (ii) de H s'obtiennent par l'intégration de systèmes complets.

La substitution (ii) transforme les expressions lfi{dx) en des expressions de Pfaff 'k/t{dx') invariantes vis-à-vis de G'. Et il est bien évident alors que les \h{dx') sont fonctions linéaires àesl'f^^dx') déduits des l/t(dx) par le changement de x^, X2, • . ., Xn en x\^ x^^f , . ., x'^. Nous aurons donc

(i3) l,{dx) = Mclx') = ^aiH{l') Inidx').

Les oLij sont fonctions des invariants V de G' et restent, dans une certaine mesure, arbitraires tant que la transformation (11) n'est pas complètement déterminée. On peut, dans tous les cas, obtenir les a par l'intégration de systèmes complets; puisque l'on peut obtenir ainsi les transformations (11). Mais, si Ton veut simplement obtenir les a indépendamment des équations (11), on peut, dans certains cas, procéder algébriquement.

Cette circonstance se présente si G est transitif. Aux systèmes d'expressions de Pfaff l(dx)j X(ûte'), l'(dx') invariantes vis-à-vis de G ou de G', sont associés des systèmes bien déterminés de transformations infinitésimales A/, Ly, A'/' des groupes Ç et (f réciproques de G et G'; et à la substitution

(»4) li(dx) = h{dx^)=^OLi^lH{dx')

correspond une substitution relative aux \f

(i5) Akf{^) = Uf'{x')^'^A,^A'f(x')

[/' désigne ce que devient f par la substitution (11)]. Dans les formules (i4) et (i5) les a et les A représentent des constantes (^). On peut déterminer directe-

(*) Lib-Engbl, Transformationsgrupperij Ab. I, p. 36i.

(*) Les substitutions (t4) et (i5) se déduisent facilement Tune de l'autre^ en observant que les li(dx) et les \j^f sont, en quelque sorte, des variables contra grédientes.

ment les A, d'après un théorème de M. Lie (*) : Les A sont les constante,s les plus générales telles que les constantes de structure soient les mêmes pour l^s \ukf et pour les til^^f, La détermination des A se fait bien algébriquement.

27. Les équations (i3) peuvent être considérées comme les équations d'un groupe linéaire et homogène S (dont les variables sont li^dx)). Donnons-nous maintenant une forme de différentielles F[/(rfj7)] invariante vis-à-vis de G. Nous pourrons toujours disposer des arbitraires contenues dans les formules (i3), de manière à transformer F[/(rf.^)] en une autre forme plus simple 4>[/'(rf^')]. Il faut alors distinguer deux cas : ou bien on peut choisir ^ de sorte que la substitution ramenant F à <I> soit déterminée entièrement; ou bien cela n'est pas possible. Dans ce dernier cas, quelle que soit la forme ^ choisie, la substitution (i3) ramenant F à ^ contient encore des arbitraires. 11 est bien évident alors que F admet les substitutions d'un groupe linéaire et homogène ï

détaché du groupe S. A ce groupe T correspond manifestement un groupe K, détaché du groupe H précédemment considéré. Le groupe G est alors un sousgroupe invariant du groupe K.

28. Les propositions précédentes suffisent pour la détermination des variétés à trois dimensions admettant un groupe continu, problème qui nous occupera plus loin. Nous indiquerons auparavant comment on peut utiliser ces propositions à la détermination des formes de différentielles invariantes vis-à-vis de groupes ne satisfaisant plus à la restriction du n^ 24. Soit F un pareil groupe. On peut toujours trouver un sous-groupe G de F, satisfaisant à la condition du n^ 24 (on prendra pour G un groupe aussi grand que possible). Désignons par X/ la transformation infinitésimale la plus générale de F, par 1^ les invariants de G supposés déterminés; supposons, en outre, que Ton ait un système d'expressions de Pfaff /A(rf-3?) invariantes vis-à-vis de G. Une forme de différentielles F[Ia, lk{dx)\ invariante vis-à-vis de G, le sera aussi vis-à-vis de F si l'on a

X(»)F[U, 4(rf:r)]=2^XI^-»-25|^''^'*('^^) = ^'

en désignant par X^^^ ?(<^> dx){di transformation obtenue en prolongeant la transformation infinitésimale arbitraire Xydu groupe F.

(*) Lie-Engel, T r ansfor mations g ruppen, Ab. I, p. 338 et 38i.

SUR LES VARIÉTÉS A TROIS DIMENSIONS. 3g

Il est alors facile de voir que la détermination des formes invariantes vis-à-vis de r se ramène à l'intégration d'un système complet, dont les variables sont I^