INTRODUCTION

On appelle variété à n dimensions, l'ensemble de n variables xi et d'une forme quadratique de leurs différentielles, à discriminant difl'érent de zéro, le ds^ de la variété.

L'intérêt que présente l'étude de ces variétés s'explique par le grand nombre de théories où elles interviennent. On peut citer, en Géométrie, la théorie des surfaces et son extension aux espaces à plus de trois dimensions, les recherches sur la nature de l'espace et les Géométries non euclidiennes, les questions relatives aux contacts de courbes ou de surfaces comprises dans des familles dépendant de plusieurs paramètres arbitraires.

On sait aussi que le problème général de la Dj^namique peut être considéré comme une extension du problème des géodésiques aux variétés à un nombre quelconque de dimensions. Si l'on remarque, enfin, que certaines propriétés physiques d'un milieu peuvent être définies au moyen des coefficients d'un ds^^ comme l'a montré Riemann à propos de la conductibilité calorifique, on voit que la Physique mathématique donne encore une nouvelle interprétation des variétés précédemment définies.

Le présent Travail est consacré à l'étude de quelques questions d'Analyse relatives aux variétés, surtout aux variétés à trois dimensions. Il est divisé en cinq Chapitres que je vais analyser rapidement.

• Dans le Chapitre I j'expose des résultats connus relatifs aux invariants et aux covariants des ds^. Je rappelle la définition de ces invariants et de ces covarianis, en la rattachant à la notion générale d'invariant différentiel donnée par M. Lie ( * ). J'indique alors, d'après le célèbre Mémoire de Christoffel (^), la formation des covariants successifs d'une variété. Tous ces covariants dérivent de l'un d'entre

(*) Mathematische Annalen, t. XXIV.

(*) Journal de Crelle, t. 70.

eux, que Chris toffel désigne par G4. Ce covariant est une forme quadrilinéaire de difTérentielles, signalée d'abord par Riemann (*), ensuite par Christofiel et Lipschitz(^).

Le procédé employé par Christofiel pour déduire de G4 la suite des autres covariants d'un ds^ peut s'étendre à d'autres problèmes, ainsi que l'a montré M. Ricci (^). C'est ainsi que l'on peut former des covariants correspondant à l'ensemble constitué par une variété donnée et une fonction donnée des variables indépendantes. Ces nouveaux covariants conduisent, d'une façon simple, aux paramètres difitérentiels de Lamé et de M. Beltrami.

Je n'ai donné dans cette première Partie aucune démonstration. Les théorèmes généraux sur les invariants difi*érentiels permettent de concevoir que les divers covariants ou invariants dont il est question s'obtiennent par des opérations efiectuables, dont on trouve le détail dans les Ouvrages cités. Aucun des résultats indiqués n'est nouveau, je signalerai cependant le suivant : Dans le cas d'une variété à trois dimensions, on peut substituer au covariant G4 un paramètre difi'érentiel du premier ordre D/" analogue au paramètre diff*érenliel ordinaire A/". Cette légère modification d'un résultat de Christofiel est très importante pour la suite.

Le Chapitre II est consacré au problème de V application des variétés. On dit, par analogie avec un problème de la théorie des surfaces (*), que deux variétés à n dimensions, Xj ds^; od ^ ds'^ sont applicables, s'il est possible de trouver une transformation de passage exprimant les x en fonction des a^ et changeant ds^ en ds'^. Le problème de l'application consiste à reconnaître si une pareille transformation est possible, et, dans ce cas, à la déterminer. Il conduit à l'étude d'un système S d'équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre, auquel on peut appliquer facilement les théorèmes généraux sur les systèmes difi'érentiels. On voit ainsi que la transformation de passage dépend, au plus, de constantes arbitraires. Le nombre maximum de ces constantes est atteint lorsqu'il s'agit de variétés à courbure constante; deux pareilles variétés ayant même courburej sont, d'ailleurs, toujours applicables.

Je suppose alors que les variétés données sont à trois dimensions, et non à courbure constante. Christofiel C^) a donné la solution du problème de l'application lorsque la transformation de passage ne dépend pas de constantes arbitraires. Je laisse cette restriction de côté. Pour étudier le système S, je considère l'ensemble du paramètre difi*érentiel ordinaire A/ et du paramètre diff*érentiel D/pré-

(') Œuvres complètes, Commentatio mathematica,..,

(*) Journal de Çrelle, t. 70, 71. — Bulletin des Sciences mathématiques, i** série,

t. IV.

(8) Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. XVL (*) Darboux, Leçons sur la Théorie des surfaces, t. III, Livre VÎI, Ghap. II. (*) GuRiSTOFFELi Journal de C relie, t. 70, p. 46 et 241-

cédemment défiai, comme Teasemble de deux formes quadratiques dont les variables seraient les dérivées de y. Cela conduit à envisager certaines formes linéaires des dérivées de f^ ou, en adoptant une définition bien connue, certains symboles de transformations infinitésimales L/. On obtient de même des expressions analogues \Jfk partir de la seconde variété; on égale alors les formes homologues L/, L'y*; le système S est ramené ainsi à un type connu d'équations linéaires étudié par M. Lie (*).

Après la discussion des divers cas possibles, je montre que les transformations infinitésimales Ly sont, en général, échangeables avec les transformations infinitésimales du groupe G de transformations de la variété x^ds^ en elle-même. Cela permet de déterminer les transformations infinitésimales de G; j'ai donné à cet endroit un exemple particulier de cette méthode que j'ai dû appliquer fréquemment dans la suite.

Le Chapitre III se rapporte à la représentation conforme des variétés à trois dimensions. On dit qu'il est possible d'efTectuer une représentation conforme d'une variété x^ ds^ sur une autre x', ds'^ s'il est possible de déterminer un facteur p tel que les variétés a:, p^ds^] x\ ds'^ soient applicables. On peut toujours effectuer la représentation conforme de deux variétés à deux dimensions ; il n'en est plus de même dans le cas général.

Je donne d'abord les conditions de possibilité du problème lorsque la seconde variété {x\dsf^) est euclidienne; ces conditions étant remplies, on détermine aisément p et la transformation de passage. Si ces conditions ne sont pas remplies, on peut définir un covariant C de ds^^ restant inaltéré quand on multiplie ds^ par une fonction quelconque des x. L'étude algébrique de ce covariant C et de ds^ conduit à adjoindre à la variété a?, ds^ une variété dite variété principale, que l'on détermine par des opérations effectuables. Celte notion permet de ramener le problème delà représentation conforme au problème de l'application, traité au Chapitre précédent.

Ces résultats ont été indiqués dans deux Noies aux Comptes rendus (^). Ils paraissent susceptibles d'applications géométriques intéressantes.

Je donne, dans le Chapitre IV, le moyen de déterminer les formes de différentielles invariantes vis-à-vis de certains groupes. Je. montre d'abord comment on peut associer, dans une multiplicité à n dimensions, un système de n expressions de f[affl{dx) et un système de /i transformations infinitésimales \f Je considère alors un groupe G dont les transformations infinitésimales X/

(*) Lie-Engel, Transformalionsgruppeny I. Abschnitt, Ghap. XIX.

(<) 26 juillet 1897 et 16 août 1898. J'ai dû modifier la définition de la variété principale donnée dans cette dernière Note ; les racines de l'équation en X du n** IV de cette Note peuvent être toutes nulles, contrairement à ce que j'annonçais. Je démontre dans ce Travail l'existence de la variété principale en supposant le c?s* donné défini positif .

sont formes linéaires indépendantes des dérivées de/. Me servant de Passocialion précédente, j'établis que l'on peut trouver une infinité de systèmes de n expressions de Pfaff l(dx) invariantes vis-à-vis de G; la recherche de ces systèmes revient (*) à celle des transformations infinitésimales Ay échangeables avec celles de G. On obtient aisément les formes de différentielles invariantes vis-à-vis de G, en exprimant ces formes au moyen des expressions de Pfaff /(rf;r) de l'un des systèmes précédents.

Je montre ensuite que l'on peut adjoindre à tout groupe G, et à tout système l(dx) correspondant, un ensemble de substitutions linéaires permettant de réduire à des types plus simples les formes de difi'érentielles invariantes vis-à-vis de G.

Dans le Chapitre V, je détermine des types canoniques pour les ds^ à trois variables admettant un groupe continu. En d'autres termes, je cherche une forme simple pour les ds^ à trois variables analogues aux ds^ de révolution. Pour cette dernière Partie, j'ai pris comme guide un beau Mémoire de M. Bianchi (^), où ce géomètre a donné la solution complète du problème pour les ds^ définis positifs. J'ai laissé cette restriction de côté.

Soit r le groupe de transformations d'un ds^ à trois variables en lui-même. On voit aisément que F admet un sous-groupe G de l'espèce considérée au Chapitre IV. Je suis ainsi conduit : i° à déterminer les types possibles de groupes G, et les ds^ correspondants; pour cela j'applique les méthodes , du Chapitre IV; 2® à classer les résultats obtenus, c'est-à-dire à reconnaître ceux des ds^ obtenus admettant un groupe F plus grand que G. Pour ce dernier point j'ai eu recours aux méthodes du Chapitre II.

La première partie de cette recherche s'étendrait à un nombre quelconque de variables, sans autres difficultés que celles des intégrations à effectuer. Par contre, la classification des résultats paraît compliquée dès qu'il y a plus de trois variables. Il faudrait d'abord étudier les propriétés des groupes F possibles, plus complètement que l'on ne l'a fait jusqu'ici.

Pour le cas de trois variables, j'ai ajouté aux types canoniques connus un certain nombre de types nouveaux que M. Bianchi n'avait pas eu à considérer. En outre, les formules générales dont j'ai fait usage me paraissent commodes pour retrouver les résultats de M. Bianchi.

• Les divers problèmes traités au cours de ce Travail trouvent une application dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre, si fréquentes en Physique mathématique (le cas de trois variables est alors particu-

(*) Comptes rendus, 20 février 1899.

(') Sugli spazi a tre dimensioni, etc, {Mémoires de la Société italienne des Sciences ^ série III, t. XI, p. 267.)

Jièrement intéressant). Dans un IVlémoire ultérieur, je montrerai que le problème : Reconnaître si deux équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre sont transformables l'une dans l'autre par un changement de variables, se ramène, suivant les cas, au problème de l'application ou à celui de la représentation conforme de deux variétés. J'établirai également que les méthodes des Chapitres IV et V permettent de former des équations à trois variables analogues aux équations d'Euler et de Poisson. Ces résultats seront la généralisation de ceuK que j'ai indiqués antérieurement (*) pour le cas de deux variables.