CHAPITRE I

INVARIANTS, GOVARIANTS, PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS D'UNE VARIÉTÉ.

i. Nous rappellerons d'abord la définition des invariants différentiels d'un groupe de transformations fini ou infini (2). Considérons des variables x^, X2y ..., Xn] Si, ^2, ..., Zq exprimées en fonction de nouvelles variables x\, ^2, ..., x',/, z\, ig, ...j -Sç par certaines formules de transformation formant un groupe. Supposons z^j ^2? • • •> Zq fonctions de Xtj x^j • . .^ Xn] z\^ z\^ . . ., z sont de même fonctions de ^1,^^25 • • •? ^«" ^^^ dérivées partielles des z^ prises par rapport aux variables x^ s'expriment en fonction des x^^ des z' et des dérivées partielles des ^' par rapport aux x' . Ceci posé, nous dirons qu'une fonction des x^ des z et de leurs dérivées

yX,,X^,.,.,Xn,Z,,Z^, ...,XJ^, , ...,___, ...^

est un invariant différentiel du groupe, si l'on a identiquement en vertu des formules de transformation

( àz, d'zt \

O I ' ' f t f I UZm Ô Zi \

On sait que les invariants différentiels d'un ordre déterminé sont fonctions d'un nombre limité d'entre eux, ces derniers pouvant se déduire, à l'aide de

(*) Comptes rendus, 3o novembre 1896 et 5 avril 1897.

(*) Lie, Ueber Differeniialinvarianten {Mathematische Annnlen, t. XXIV, p. 538).

diffère Dilations et d'éliminations seulement, des équations de définition du groupe (*).

On peut aussi obtenir les invariants différentiels comme solutions de systèmes complets, si l'on connaît seulement les symboles des transformations infinitésimales du groupe.