EL (=,) | | H:(5;) | > CE
et la démonstration s’achèverait tout de suite.
Il est clair que les arcs dont les points satisfont à l'inégalité Hs) er ont une longueur inférieure à celle des arcs dont les points satisfont à l'inégalité HSE ce, La question, dont la solution s'impose ici, est la suivante : Comparer l'ensemble (A) correspondant à l'inégalité IH) ce avec l'ensemble (a) correspondant à l'inégalité LOTS (g un nombre quelconque), H(z:) étant une fonction entière quelconque.
Si H(z:) est une exponentielle
HE CPE
avec
EN Me se À ré Æ :
P(z)= gs +qsiit = grheftti no rte ON (5 Anel)
et er” cos(k0)+g,r* coS[(Æ—1)0]+...
el) |
Nous supposons, pour fixer les idées, que g;, 41, -.., sont des nombres réels
| el) | = egr" cos(4f)(1+w(r)1,
, I W(r) tendant vers zéro, avec --- =
L'ensemble (A) comprend des arcs dont les points satisfont à l'inégalité
cos(k0) >
et l’ensemble (a) correspond à l’inégalité
cos (40) < = 1+$
(e un nombre positif tendant vers zéro avec —; 8 étant arbitrairement petit, il =
est visible que ces deux ensembles sont comparables. Expliquons-nous : l’are de (A), qui commence par le point (0 — 0), a une lon-
gueur angulaire égale à la plus petite valeur 05, qui satisfait à
cos(k0,) —
aussi pelit que soit $ pour r très grand.
A & à Te ’
De même, l’arc de (a), qui commence par le point (a —— 1) a une étendue À
TT
T° 0, étant la valeur de Ü supérieure à + et satisfaisant à
angulaire égale à 0, e l'égalité AURON= 0:
COS ( 1) 1+ 6 os(#0,)
On voit immédiatement que ce rapport ——-" tend vers l’unilé négative, cos(Æ0,)
lorsque 7 croit indéfiniment et la différence
k(0—60)—7T ] ‘ Nr . ; tend vers zéro avec -, ce qui montre que la différence angulaire des arcs consi- >
Nr , [| dérés tend vers zéro avec s Ces indications donnent une idée du problème général que j'ai signalé, et doni
Je ne m'occupe pas dans ce travail.
72 G. REMOUNDOS.
Quatrième cas. — &(r) tend vers l'unité, lorsque 7 croît indéfiniment. Ceci peut avoir lieu pour une infinité de valeurs de r, croissant indéfiniment. On peut toujours permuter le rôle des H,(:) et H, (3), parce que ces fonctions, toutes les deux, croissent régulièrement.
Ce cas est celui qui présente les difficultés les plus considérables, que je ne puis
surmonter pour le moment.
8. Si le produit de deux fonctions à croissance régulière et d'ordre entier est tou-
jours à croissance régulière (!), ce fait entraînerait deux conséquences importantes.
(a!). Le deuxième théorème de M. Borel s’'étendrait complètement aux produits canoniques de facteurs primaires d’ordre entier. I n’y aurait qu'à utiliser l'artifice fécond, par lequel on rattache les fonctions de genre fini aux fonctions de genre zéro, et, en particulier, les fonctions d’ordre entier à celles dont l’ordre est infé-
rieur à un (?).
(B'). F(z) étant une fonction quelconque d’ordre entier (e) et à croissance
régulière, considérons la fonction
où ©(z) et s(z) sont d’ordre inférieur à p.
La fonction G(z:) qui est, elle aussi, à croissance régulière, d’après les théorèmes V et VIT, ne saurait faire défaut au deuxième théorème de M. Borel que si l’on se trouve en présence du cas unique d'exception de M. Picard.
On en déduirait des conséquences analogues pour les fonctions mulüiformes,
qui ont été l'objet du présent travail.
(1) Lorsqu'il est du même ordre, bien entendu.
(2) Je ne considère pas ici la définition d'ordre plus précise due à M. Lindelüf, qui comporterait des développements intéressants relatifs à cette théorie. Je les réserve pour un autre travail.
Vu et approuvé :
Paris, le 25 mai 1905.
LE Doyen DE LA FACULTÉ DES Sciences,
Pauz APPELL.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 25 mai 1905.
Le Vice-Recreur De L'ACADÉMIE DE Paris,
