GONE 7 HN
deux fonctions à croissance régulière du même ordre 0.
D’après la définition du nombre 6, sur 6, coefficients consécutifs à partir de
Am; V y en âura toujours un ay{u — m<0») qui satisfait à l'inégalité
Supposons que les fonctions G(z) et H(z) jouissent de la propriété (CLP croit moins vite que m2 (logm)'-*— m; il est facile à constater que la fonction S(z) = G(:) + H(2:) jouit, en général, de la même propriété. En effet, pour chacune de ces fonctions G({z) et H(:), sur 4, coefficients consécutifs il yenauna«a, et à, qui satisfait à légalité (T).
Le coefficient général de S(z) est égal à a» + am — bn et l’on aura
0> = An + An — ï + An ( LL G+e}r ñn p b=a+a—= a+ —— ; V'-+E y “P b, et b,, s'ils ne sont pas nuls, sont de la forme ir [ V Ï Vo n 749 b— 1 = = te pe n° Je
e, et &, étant arbitrairement petits avec e; nous supposons ici que |æ,| et |a4,| ne | Gn |
Ga
ne tend
sont pas des infiniment petits équivalents, c’est-à-dire que le rapport
pas vers l’unité.
Dans ces cas, d’après le premier critère de M. Maillet, la somme S(3) est à croissance régulière.
Dès lors, la somme d’une fonction w(z) à croissance irrégulière et d'ordre p et H(z) à croissance régulière et de la classe ci-dessus signalée peut ne pas être à croissance régulière, si H(z) et w(z) sont du même ordre.
Les deux critères de M. Maillet nous permettent de constater un fait très impor-
tant.
La somme de deux fonctions à croissance régulière et du même ordre p n'est pas toujours une fonction à croissance régulière, même lorsqu'elle a le
même ordre 0.
(1) Ces formules sont écrites dans l’hypothèse que les coefficients &, et &, sont tous réels
et positifs; dans le cas contraire, on devrait employer les modules.
64 G. REMOUNDOS.
Nous allons, en effet, former deux fonctions à croissance régulière, dont la somme soit à croissance irrégulière.
Considérons une fonction entière d’ordre p
telle que le nombre 0, de M. Maillet croisse moins vite que m(logm)t7*— m (+ positif assez petit, si l’on veut) à partir d’une certaine valeur de m. Posons
ln = m(logm) -1— m,
Le = moe 0e
Envisageons une infinité de valeurs de m
PT DURE telle que
M Mar > Le, GR = 0 0)
Divisons l'intervalle m»,, ..., mx en deux parties, dont la première ait une
et changeons tous les coefficients 4», qui appartiennent
étendue égale à L,,. à cette première partie de l'intervalle correspondant, en — «4, ; en laissant tous les autres coefficients de ©(z) invariables, nous obtenons une nouvelle fonction v,(z) qui est évidemment à croissance régulière, d’après le premier critère de M. Maillet, puisque ses coefficients ont le même module avec ceux de o(z).
La somme D(z)—%(:)+w,(z) est à croissance irrégulière en vertu du deuxième critère de M. Maillet; il y aura, en effet, une infinité de valeurs de m, Mi, May ces Mn; -.., pour lesquelles 8,, croisse plus vite que m'+B— m (6 étant un nombre positif fini).
La fonction ©,(:) ne saurait être d'ordre inférieur à p, puisque, autrement, la somme (3) +o, (z) serait à croissance régulière (voir le théorème l'E
La fonction D(:) sera sûrement d'ordre égal à Hit
tervalle mh;———m, a une étendue supérieure à L ou bien / étant Mai Bn—1 vi
e, si la deuxième partie de l’in-
son commencement. (!). Nous avons donc formé deux fonctions d'ordre ep et à croissance régulière, dont la somme, étant du même ordre p, soit à croissance irrégulière.
Il en résulte que le théorème VI n’est pas vrai dans le cas où les deux fonctions w(z) et H(z) sont du même ordre p; la somme S(z3) peut bien croître régulièrement.
6. Dans le n° 4 nous avons exposé deux cas, dans lesquels le produit de deux
(1) C’est une conséquence immédiate du second critère de M. Maillet.
fonctions H,(z:) et H,(z) à croissance régulière et d’ordre entier est aussi à croissance régulière. Dans ces deux cas, il en est de même de leur somme.
Le premier cas correspond au théorème V.
Quant au second cas, on s’en rend aisément compte, en remarquant que les points de module maximum des H, (z) et H,(3) pour (3) — 7 se trouvent sur les droites (0—=y9 + (2k+i)r pour HiCA,
(D) | (8—=y®+(2k+nr pour H,(z),
7" et y?) étant les arguments d’un zéro des H,(z2) et H(:).
Si donc ÿ)= +0) + 9 kr (X étant un entier quelconque) les droites de module maximum des H,{2:) et H,(z) sont communes, de sorte que les quatre cas examinés dans le n° 3 se présentent d’une façon très favorable. En effet, les arguments des H,(z) et H,(3) sur les droites (D) sont les mêmes, à un multiple de
27 près. Donc.on a EU, | ” H,(Z,) | 7 | EL (Z,) | — 2e"* nn e'* ee
et la somme S(3:) est visiblement à croissance régulière.
Voici un autre cas exprimé par le théorème suivant :
Taéorëme VII. — Le produit d'une fonction H(z) à croissance régulière ) LI ” r. * * 1 æ 7, * L 7 fr “ et d’ordre s entier par une fonction H,(:) quelconque, d'ordre pb, inférieur
à p, est toujours à croissance régulière.
Pour la démonstration de ce théorème, je désignerai toujours par Z, l'affixe
d’un maximum du [H(z2)| sur le cercle de rayon 7 et j'aurai (0) HZ) > er
à parur d’une certaine valeur de 7.
Il n’y a que deux cas possibles :
o,+e NT CA
Ou bien le [H,(Z,)| est supérieur à e77" "(e, aussi petit que l’on voudra), ou
bien l’on a {11) IHOZS Eee
e, étant assez pelil.
Dans le premier cas la démonstration s'achève immédiatement.
On aura, en effet, DURE CANTINE RUES La
n étant aussi pelit que l’on voudra, puisque p > 24. Dans le second cas, il y aura
ii ®)
66 G. REMOUNDOS.
une infinité de valeurs de 7, qui satisfont à l'inégalité (11). Alors nous remplacons Z, par un autre point du cercle C, satisfaisant à l'inégalité (10), sil y en a.
Je dis qu'il est impossible que tous les points (Z,) vérifiant l'inégalité (10) satisfassent en même temps à l'inégalité (11). |
Pour s’en rendre compte, rappelons-nous l’importante modification apportée par M. Maillet au théorème de M. Hadamard sur le module minimum d’une fonc- Lion entière.
Dans son Mémoire déjà cité (!}, M. Maillet a établi le théorème suivant :
Etant donnée une fonction entière d'ordre finis et un nombre arbitraire s; st l’on décrit autour de chaque zéro (ah) un cercle de rayon n, tendant vers I 6 ÉO S Enr Te zéro avec —, en tout point extérieur à ces cercles, on «a, pour |z| assez grand, mn l'inégalité
IG
CL Là “à I ê Cette propriété du rayon des cercles exclus, de tendre vers zéro avec > est pré-
cieuse pour nous (?).
Elle nous permettra, en effet, de montrer qu'il y aura, à partir d’une certaine valeur de r, des points 3,, satisfaisant à l'inégalité (10) et pour les quels on
ait (12) lHiCs ete
S'il n’en était pas ainsi, la longueur des arcs du cercle C,, dont les points salis-
font à l'inégalité
(13) IH(s)> 6"
tendrait vers zéro avec 7) comme le diamètre des cercles exclus de M. Maillet.
Or, il est aisé de démontrer que ceci est impossible.
(1) Sur les fonctions entières et quasi-entières (Journal de Mathématiques, 1900). , SORTE : ; ; I (?) Le rayon n, qui a été fixé par M. Maillet, doit varier avec n et tendre vers zéro avec —, n si l'on veut que son théorème soit vraiment utile. C’est M. Wiman qui a fait, le premier, cette remarque. [Voir Arkiv fôr matematik, astronomi och fysik utgifvet af. k. svenska
Vetenscapsakademien (Band 1). Sur le cas d'exception de M. Picard dans La théorie des fonctions entières.]
Soient, en effet, 3, et 3,+ Az, deux points tels que
1 | ge LEE TRE NAIGeEAS;) = ere 7e:
il vient
(14) IH(2.+ 4z,) — H(z,)1 > 7 — et > et (1 — a),
4 étant un nombre positif, aussi petit que l’on voudra. D'autre part, l'on a Sr+Azy (19) H(3,+ Az,) — H{2,) =" H'(z)dz < er °rhs, (1), “ , où K est un nombre entier finiets, représente la longueur de l'arc, qui a pour extrémités z.etz,+ A3.
Nous utilisons ici les résultats récents de M. Boutroux (2?) sur la croissance de la dérivée logarithmique d’une fonction entière. M. Boutroux a démontré que, si l’on exclut du champ de la variable 3 certaines aires fermées entourant les pôles, la dérivée logarithmique d’une fonction entière d'ordre fini reste comparable, partout ailleurs, à une puissance finie de 3.
On sait que ce théorème sert de complément précieux aux résultats bien connus de M. Borel sur la croissance de la dérivée d’une fonction donnée, et dont nous nous sommes servi dans les paragraphes précédents.
Les points z, que nous avons en vue ici se trouvent dans les régions du module maximum de H(z) et, par suite, se trouvent en dehors des aires exclues par M. Boutroux. Son théorème est donc applicable pour ces points. Nous en
déduisons
rh
[H' (3) <IH(:)}rf<e"
car l’on a IH) <= er .
entre les deux limites de l'intégration 3, et 3,+ Az. On a donc l'inégalité (15).
Reportons-nous maintenant au Mémoire plus haut cité de M. Maillet et voyons quel est l’ordre infinitésimal du rayon n, des cercles exclus autour des zéros.
Le nombre n, ne doit satisfaire qu'à la condition
1 (°] 5 25| log + log2 + Ur.
in LE 07
(1) D'une façon précise, c’est le module de la différence H(2,+ 4z,) — H(2,) qui est
re à red inférieur à e"° "r£s,.
(2) Voir P. Bourroux, Sur quelques propriétés des fonctions entières. Thèse de doctorat, 1903. Ce Mémoire va paraître dans les Acta mathematica.
68 G. REMOUNDOS.
Cette inégalité sera bien satisfaite, en prenant
,Ë fine (&<eE) (*).
Si maintenant $, était comparable à e ”", on aurait = nd ke pe 12 [H(z,+As,) —H(s,)|<e” °r'e (s un nombre fini) ou encore
(16) |H(z, + Ne) He) one
: = Une . [l puisque la quantité rÂe°7* lend vers zéro avec = w désigne un nombre fini, mais arbitrairement petit, ou, mieux encore, une 6 : I quan Lite tendant vers zéro avec LS
On voit maintenant que l'inégalité (16) esten contradiction avec l'inégalité (14). Donc, il y aura toujours, à partir d’une certaine valeur de r, des points 3; satisfaisant en même temps aux inégalités (12) et (13). [Il en résulte
k AD EN (Re) +26 Na IH(z)H,(;)|>e — 11 — el FE 2e 1 er
e, étant arbitrairement petit.
D'autre part, le module maximum M(7) du produit est supérieur ou égal à
On a donc M7 ch
Le produit H(3) H,(3) est donc à croissance régulière. Faisons remarquer maintenant que, pour éviter la contradiction signalée dans
la démonstration précédente, il faut qu'on ait (15) TS led, aussi pelit que soit &. Ou bien
Sn (1—a)r À,
S1 donc s, tend vers zéro avec 7° son ordre infinitésimal n’est pas supérieur à
(1) Gette valeur du rayon 7, précise, d'une façon remarquable et utile, le théorème plus haut cité de M. Maillet, ainsi que le théorème analogue de M. Wiman (voir son travail cité) et il parait qu'il y a là la précision la plus extrême du théorème de M. Hadamard, J'ai déjà publié ce résultat dans une Note du Bulletin de la Société mathématique, 1904 : Sur Les fonctions entières de genre fini.
celui de 77#, Le nombre Æ se rattache à l’ordre 2, supposé entier, de la fonction H(z).
Je pense que cette limite de 5, est très petite et que 5, tend vers l'infini avec r; il est très intéressant de faire des recherches à ce sujet; j'espère y revenir dans un autre travail ().
7. Il ÿ a lieu maintenant de démontrer que le produit de deux fonctions H,(z:) et H:(3) à croissance régulière et du même ordre 5 est aussi à croissance régulière lorsque son ordre n’est pas inférieur à p.
Ce théorème n’est pas douteux; cependant sa démonstration semble présenter des difficultés sérieuses. Il faut, pour cela, approfondir le mode dont le module d'une fonction eutière varie avec l'argument sur un cercle de rayon r très grand.
Voici la voie la plus naturelle que l’on pourrait suivre et les difficultés qui s’y présentent.
Considérons le cercle C,; de rayon r et soit (A,) l’ensemble linéaire de ses
points qui satisfont à l'inégalité [H(s)1> Gen
(e étant un nombre fini aussi petit que l’on voudra).
Désignons par era Je plus grand des modules de H,(3) pour les points de l’ensemble (A,;).
Nous allons distinguer quatre cas :
Premier cas. — a(r) est négatf à partir d’une certaine valeur de r. Dans ce cas, il y aura un point 3, qui salisfera aux inégalités ” (ne NH) ee) ; MCE ES et, par conséquent, à | H;,(z,) EH (z;) | œ etat) Ci, e, étant arbitrairement petit. Le produit sera donc à croissance régulière.
Deuxième cas. — a(r) est positif pour une infinité (1) de valeurs de r, mais 4(r)
reste inférieur à un nombre q inférieur à l'unité à partir d’une certaine valeur (D
(1) Ge résultat se rattache à un théorème de M. Pbhragmén, établi à l’occasion de quelques fonctions entières de genre infini signalées par M. Mittag-Leffler. Voir un travail récent de M. J. Malmguist | Étude d’une fonction entière (Acta mathematica, 1905)].
70 G. REMOUNDOS.
On aura alors, pour un point fe HH(z) (5) > er titi ai ati ent,
:, élant arbitrairement petit.
Notre théorème est encore vrai pour cette infinité (I) de valeurs de 7.
Troisième cas. — a(r) étant positif pour une infinité (1) de valeurs de 7 reste supérieur à un nombre g, plus grand que lunité, pour r très grand. Dans ce cas, il faut permuter le rôle des H,(3) et H,(3). Je m'explique : on
considérera l’ensemble linéaire (A,) dont les points satisfont à l'inégalité NC ES
Ici, il faut comparer l’ensemble (A,) avec l’ensemble (a, ) des points qui satisfont à l'inégalité PhOIETAE
Si ces ensembles ont des points communs à partir d’une certaine valeur (1), on aura pour ces points £,
