INTRODUCTION

1. Le célèbre théorème, découvert par M. Picard en 1880, est aujourd’hui assez classique pour me dispenser de la nécessité d’en signaler l'importance dans la théorie des fonctions analytiques. Son auteur l’a établi à l’aide de la théorie des fonctions modulaires et il concerne les valeurs d’une fonction analytique uniforme dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé.

C’est M. Borel qui a, le premier, donné une démonstration directe, en se bornant aux fonctions entières, et signalé son importance toute remarquable dans la théorie des fonctions entières. M. Borel a donné des généralisations importantes du théorème de M. Picard en montrant que le cas d’exception a un sens plus large, si l’on tientcompte du mode, dont le module des zéros croît indéfiniment avec leur rang.

Dans son Mémoire Sur les séros des fonctions entières (Acta mathématica, t. XX), M. Borel a utilisé sa théorie des fonctions croissantes pour établir la généralisation la plus étendue, que l’on puisse exiger, du théorème de M. Picard pour les fonctions entières ou méromorphes (!). :

(1) Nous avons obtenu, M. Wiman et moi, des généralisations plus précises de la notion du cas d’exception concernant les fonctions uniformes elles-mêmes; mais j’exposerai ces résultats ultérieurs dans d’autres Mémoires qui paraitront prochainement. Voër mes Notes (Comptes rendus, 20 juin 1904, 8 mai 1905).

2 G. REMOUNDOS. ,

À cette occasion, il a démontré l'impossibilité de certaines identités, où il figure un nombre fini d’exponentielles (Mémoire cité, p. 387).

M. Borel, en énonçant cette proposition, s’exprime ainsi :

« C’est là, semble-t-il, la généralisation proprement dite la plus étendue que

l’on puisse exiger pour le théorème de M. Picard. »

Or, parmi les identités de M. Borel, il n'y a que celles qui contiennent deux exponentielles qui ont servi pour établir les généralisations du théorème de M. Picard, concernant les fonctions uniformes. Donc, la proposition fondamentale disait quelque chiose de plus.

Je démontre dans ce Mémoire que cette généralisation ne concerne pas seulement les fonctions uniformes; dans le cas où le nombre des exponentielles, figurant dans les identités de M. Borel, est supérieur à deux, sa proposition fondamentale se traduit par l'extension du théorème de M. Picard aux fonctions multiformes.

Ce fait justifie d’une façon remarquable l’assertion, plus haut citée, de M. Borel.

Ce Mémoire est divisé en trois Parures :

Dans la première Partie, j'étudie les zéros des fonctions analytiques ayant un nombre fini de branches dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé.

Le théorème fondamental de M. Borel, dont nous venons de parler, y sert de base.

Dans la deuxième Partie, je traite le mème sujet pour une classe étendue de fonctions multformes, ayant un nombre infini de branches dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé. C’est toujours au point de vue de l'extension du théorème de M. Picard. J’y établis des théorèmes généraux qui comprennent comme cas particuliers ceux qui ont été démontrés dans la première Partie.

Dans le Chapitre [ de la première Partie, je me borne au cas où le point essenuel est à l'infini et unique, de sorte que la fonction multiforme considérée n’a d’autres singularilés à distance finie que des pôles et des points critiques algébriques. Ce sont les fonctions que j'ai appelées transcendantes algébroïdes et qui comprennent comme cas particuliers les fonctions entières et méromorphes. Il est clair que ces transcendantes sont les plus simples parmi les transcendantes multiformes et leur étude doit être précédée de celle des autres.

Dans le Chapitre II de la même Partie, je passe au cas général que je traite en m’appuyant sur les résultats récents de M. Maillet [our les fonctions monodromes à potnt singulier essentiel isolé (Bulletin de la Société mathématique, 1903, fasc. 1)]. On sait que l’origine de ces résultats se trouve dans une lettre de M. Hadamard adressée à M. Picard en 1896 et insérée dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. CXXIHI.

La deuxième Partie est subdivisée en trois Chapitres. Dans le premier, Jj'étudie

cerlaines classes de fonctions mulliformes qui jouissent de propriétés remarqua

bles. Je signale, en particulier, des fonctions d’un nombre infini de branches pour lésquelles le nombre des valeurs exceptionnelles est limité et je donne le moyen de les reconnaitre.

= 5] . . À , , Fe ss Dans le Chapitre I, Je tâche d'étendre les résultats précédents aux fonctions définies par une équation telle que