NE) =0C

F(3, u) étant une fonction entière des z et w, absolument quelconque. J'établis un théorème général au sujet de la nature de l’ensemble des valeurs exceptionnelles.

À cette occasion, j'aborde le problème intéressant de l'extension de la proposition fondamentale de M. Borel au cas où le nombre des exponentielles, figurant dans ses identités, est infini, et j'indique un artifice qui me paraît destiné à surmonter les difficultés.

Je me suis toujours borné, pour fixer les idées, au cas où les coefficients de F(z3, w) sont des fonctions entières. Les remarques de MM. Hadamard et Maillet suffisent pour étendre les résultats au cas d’un point singulier essentiel quelconque.

Dans le Chapitre IT, j’expose quelques applications à la théorie des équations différentielles en rattachant ces considérations avec les points singuliers d’indé-

termination incomplète, signalés par M. Painlevé.

Enfin, dans une troisième Partie, je me propose la tâche de compléter les théorèmes donnés par M. E. Borel sur les fonctions entières à croissance régulière et Je fais une étude systématique de ces fonctions, en établissant des théorèmes intéressants. J'y signale les problèmes importants, qui se rattachent au but que nous nous sommes proposé.

J'entrevois, dans cette étude, la nécessité de considérer les arguments des zéros

dans le cas où l’ordre o est un nombre entier. \

2. Ce travail est le développement de trois Notes, dont deux ont été insérées dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences de Paris (20 avril 1903, Une nouvelle généralisation du théorème de M. Picard sur les fonctions enzières, et 8 février 1904, Sur les séros d’une classe de transcendantes multiformes).

La troisième Note a été publiée dans le Bulletin de la Société mathématique de France, 1904, fase. 1, sous le titre : Sur les zéros d’une classe de fonctions transcendantes.

Voici les Ouvrages principaux qui ont traité du théorème de M. Picard et de

ses généralisations 2

E. Picann, Mémoire sur les fonctions entières (Annales de l'Ecole normale,

n G. REMOUNDOS.

E. Prcaro, T'raité d'Analyse, 1. IX, p. 231, ett. IIE, p. 347.

J. Hanamann, Mémoire couronné en 1892 par l’Académie des Sciences et publié en 1803 dans le Journal de Mathématiques.

J. Hanamano, Sur les fonctions entières (Comptes rendus, extrait d’une lettre adressée à M. Picard, t. CXXIT, 1896).

E. Borrz, Mémoire sur les zéros des fonctions entières (Acta mathematica, t. XX, 1897).

E. Borez, Vouvelles leçons sur la théorie des fonctions (Leçons sur les fonctions entières et Leçons sur les fonctions méromorphes).

E. Borez, Contribution à l’étude des fonctions méromorphes (Annales de l’École normale, 1902).

E. Muucer, Mémoire sur les fonctions entières et quasi-entières (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1902, fase. IV).

E. Marizuer, Sur les fonctions monodromes à‘ point singulier essentiel isolé (Bulletin de la Société mathématique, 1903, fase. T).

A. Krarr, Ueber ganse transcendante Functionen von unendlicher Ord-

nung. Inaugural Dissertation (Universität zu Güttingen, 1903) (t).

3. Il est nécessaire, avant tout, de présenter au lecteur cette proposition fondamentale de M. Borel, qui est la base de la plus grande partie de notre travail.

Soient deux séries de z fonctions entières G,(3), G:(2), ..., G:(2); H,(z), H:(:), ..., H,(3), et supposons que le module maximum des G;(z) pour (3) =7r croit moins vile que el), landis que le module maximum des différences H;(3) —H;(2) croît plus vite que [u(r)]'*#, u(r) désignant une fonction croissante quelconque et 4 un nombre positif, aussi petit que l’on voudra, mais fini.

Le théorème de M. Borel consiste en ce que l'identité G;(z) elle) ee G:(5) ellt= SR GC eln(=) — 0

entraîne nécessairement Giro, Rs), Dico) Gt)

Dans sa démonstration, M. Borel distingue deux cas. Le premier cas s'applique toutes les fois où les différences H;— H}; n’ont pas des ordres de croissance très différents; dans ce cas, la démonstration est plus simple. Nous verrons que c’est le cas qui nous intéresse ici, puisque dans toutes les identités de M. Borel, que nous allons rencontrer dans ce travail, les H;(3) — H;(3) croissent de la même