DES

La théorie analytique de la chaleur donne pour l'importante question de l'équilibre des températures d'un corps solide homogène, soumis à des sources caloriâques constantes, une équation aux différences partielles dont l'intégration, dans le cas de rellipsoïde, a été l'une des belles découvertes auxquelles est attaché le nom de Lamé. Les résultais obtenus par Tillustre géomètre découlent principalement de Tétude approfondie d'une équation différentielle linéaire du second ordre, que j'écrirai avec les notations de la théorie des fonctions elliptiques, sous la forme suivante :

k étant le module, n un nombre entier et h une constante. Lamé a montré que, pour des valeurs convenables de celte constante, on y satisfait par des polynômes entiers en sn:c :

j = sn'*^ -4- A, sn^-'x H- ^2 sn^-^r H- . . . ,

dont les termes sont de même parité, puis encore par ces expressions :

Y = (si/'""*.r -f- //\ sh""^jc -f- A'jsn^^^jc -+-. . .)cna', j == (sn"-*x -+- h\ Nn"''x -I- K^sw^^^ x-\-, . .)dn jr, y =z= (sh""^x H- h\ ^n''~^r -h h\s\\^~^x -+-. . .jcnxdno*.

M. Liouville a ensuite introduit, dans la question physique, la considération de la seconde solution de l'équation différentielle^ d'où il a tiré des théorèmes du plus grand intérêt (*). C'est également cette seconde solution, dont la nature et les propriétés ont été approfondies par M. Heine, qui a montré l'analogie de ces deux genres de fonctions de Lamé avec

(*) Comptes rendus, i845, i*' semestre, p. i386 et 1609; Journal de Mathématiques^ t. XI, p. 217 et 261.

les fonctions sphériques, et leurs rapports avec la théorie des fractions continues algébriques. On doit de plus à Téininent géomètre une extension de ses profondes recherches à des équations différentielles linéaires du second ordre beaucoup plus générales, qui se rattachent aux intégrales abéliennes, comme celle de Lamé aux fonctions elliptiques (*).

Je me suis placé à un autre point de vue en me proposant d'obtenir, quel que soit A, l'intégrale générale de cette équation, et c'est l'objet principal des recherches qu'on va lire. On verra que la solution est toujours, comme dans les cas particuliers considérés par Lamé, une fonction uniforme de la variable, mais qui n'est plus doublement périodique. Elle est, en effet, donnée par la formule

j = CF(x}+C'F(-:r), ou la fonction F(x), qui satisfait à ces deux conditions

F(x4-2 K)=iiF{x), F(a:4-2/K')=^/*'F(.rj,

dans lesquelles les facteurs fc ei /x' sont des constantes, s'exprime comme il suit. Soit, pour un moment,

nous aurons

les quantités sn^u et X^ sont des fonctions rationnelles du module et de A, et les coefficients A|, Aj, . .., des fonctions entières. On a, par exemple,

^j^{^Sj^2jzlL(^,^k2 + k*)],

(•) Journal de Crelle [Beitrag zur Théorie des Auziehung und der fFarmc^ r. 29); Journal de M. Borchardt [Ueber die Lameschen Functionen; Einige Eigenschaften der Lameschen Functionen y dans le t. 56, et Die Lameschen Functionen verschicdener Ordnungeff,

(3 ) Je Qi'occuperai, avant de traiter le cas général où le nombre n est quelconque, des cas particuliers de /z = i et « = 2. Le premier s'applique à la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a point de forces accélératrices, et nous conduira aux formules données par Jacobi dans son admirable Mémoire sur cette question ( Œuvres complètes, t. II, p. iSg, et Comptes rendus, 3o juillet 1849)- •'V ''attacherai encore la détermination de la figure d'équilibre d'un ressort, qui a été le sujet de travaux de Binet et de Wantzel( Comptes rene/us, i844, i" semestre, p. Iii5etii97). Le second se rapportant au pendule sphérique, j'aurai ainsi réuni quelques-unes des plus importantes applications qui aient été faites jusqu'ici de la théorie des fonctions elliptiques.

La méthode que je vais exposer, pour intégrer l'équation de Lamé, repose principalement sur des expressions, parles quantités 0{x), H(a;), ..., des fonctions F [x)^ satisfaisant aux conditions énoncées tout à l'heure

qui s'obtiennent ainsi :

Soit, en désignant par A un facteur constant,

les relations fondamentales

donneront celles-ci :

/{a:-+-aR) =f{x)e^^\

- f{x-^2iK')=J{x)e'^

^'JL^^:,iXK'

Disposant donc de u et X de manière à avoir

t. 57). Le premier de ces Mémoires, paru en i845, mais daté du 19 avril i844> contient une application de la seconde solution de l'équation de Lamé, qui a été par conséquent découverte par M. Heine, indépendamment des travaux de M. Lieu ville, et à la même époque.

on voit que le quotient yj—^ est ramené aux fonctions doublement périodiques, d*où cette première forme générale et dont il sera souvent fait

usage :

la fonction <&(j:) n'étant assujettie qu'aux conditions

^{jc -f- 2K) = <I>(a:), $(j:4- a/K') =^{x).

En voici une seconde, qui est fondamentale pour notre objet. Je remarque que les relations

f{x H- 2R)= iij{x),

ont pour conséquence celles-ci :

/(a:-2/K')=;iy(x),

de sorte que le produit

sera, quel que soit x, une fonction doublement périodique de z. Cela étant, nous allons calculer les résidus de $(s), pour les diverses valeurs de l'argument qui la rendent inBnie, dans l'intérieur du rectangle des périodes; et, en égalant leur somme à zéro, nous obtiendrons immédiatement Texpression cherchée. Remarquons à cet effet (\\\e f[x) ne devient infinie qu'une fois pour X = o, et que, son résidu ayant pour valeur