AX"-' 4- A,X"-^ -^ ... 4- A;,

Dans le cas auquel nous avons été conduit, on tire immédiatement de la valeur de X Texpression

et nous obtenons par conséquent pour F(x) le produit, par Texponen- .V tielle e^'f d'une fonction doublement périodique de première espèce,

composée linéairement avec les dérivées de sn^jc. L'analyse précédente, en établissant l'existence de ce genre de solutions de l'équation différentielle, les rattache aux valeurs de h qui rendent à la fois infinies les constantes X et snw; on voit aussi que, dans le cas particulier où X© est nul, elles donnent bien les fonctions que je me suis proposé de déduire de ia

solution générale. Mais revenons à la première forme qui a été obtenue au moyen de la fonction

Le terme — -z — disparaissant, comme nous l'avons vu dans l'expression de F(ar), il est permis de prendre plus simplement à la limite,

pour 5 = o,

Cette fonction joue donc le rôle d'élément simple; il est facile, lorsqu'on fait X = iK' 4- 6, d'obtenir son développement et d'avoir ainsi les quantités qui remplacent, dans le cas présent, les coefficients désignés en général par Ho, H|, etc. Nous avons en effet, pour x = /K' -h e,

Multiplions par e^' les deux membres, et soit

nous trouverons

% I "i rt *

S/étanty en général, un polynôme du degré i + 1 en Xo» où n'entrent que des puissances impaires ou des puissances paires, suivant que l'indice est pair ou impair. Les conditions données au § XLY (p. i23) conduisent donc, dans les deux cas de /i =: 2y, /i = 2v — i, en y joignant l'équation en Xq précédemment trouvée, à ces trois relations

avSav-l- (2V — 2)/i<S2v-2H- (2V — 4)A2S2v~4-+- ... + 2/^-182= O,

( «/ifi )

lorsque Ton suppose /i = av, puis

r(av — i) 'rj-iv — 3)

ÎJijY 2 "• "I ^2v 4 i" "2 ^2V— 6 "i • • • "^ '•V— 1^ ~~ ^>

(2v — OSjv-i -+- ('av — 3)A,Sov--3-H. . .H- Av-|S, — Av= O

pour 72 = 2v — I. Elles donnent le moyen d'obtenir directement, et sans supposer la connaissance de la solution générale, les trois quantités X^, X| et h. Elles montrent aussi qu'on a en particulier la valeur Xo=o, à laquelle correspondent les solutions de Lamé. Effectivement, lorsque 1^ est supposé nul, on obtient

Sji — o, S, — A|, Sjf^-i — ^. ^ ;

cela étant, dans le cas de n = 2V, la première et la troisième équation sont satisfaites d*elles-mémes ; la deuxième, devenant

— //< — ^ — Aj— ^-i-...-i- Av-,X, + /iv=o,

ne détermine que X<. Il est donc nécessaire de recourir à Tune des relations en nombre infini qui ont été données an § XLVI (p. 12.5), sous ces foT mes :

^/=Ol ^2l=A/+v, ^2l+2v+l = CA^.

» La plus simple est ou bien

— V(2V -h OHavM -f- (V — l)(2V — l)//|H2v-.|

H- (v — 2)(2V — Sj/ialIav-s-H- •-+" S/Zv-iHa-f- Av^i = O,

et nous en tirons immédiateineM^

ce qui est l'équation en h précédemment trouvée.

» En dernier lieu et pour le cas de /i = 2v — i, nos trois relations se trouvent vérifiées si Ton fait //^, = o ; on retrouve donc encore de cette manière le résultat auquel nous étions précédemment parvenu par une niéthode toute différente.