PRÉFACE

Ce travail a pour objet l'exposition de quelques applications des fractions continues algébriques.

Le premier chapitre contient les démonstrations des propriétés fondamentales des réduites dans le développement d'une in- . tégrale de la forme

en fraction continue, les formules qui établissent la liaison entre les dénominateurs des réduites de cette fraction et de celles qu'on obtient en remplaçant f{y) successivement par

i3f-a)m, {h-y)f{y\ (jf -a){h-y)f{i,\

et quelques théorèmes sur la distribution mutuelle des racines des diverses fonctions entières qu'on vient de mentionner.

Le chapitre II contient l'application des propriétés exposées dans le ch. I à la formation du polynôme d'interpolation par la méthode des moindres carrés et l'étude d'une série remarquable,

due à M. Tchébicheff, domiant l'expression approchée d'une intégrale définie au moyen d'autres, prises entre les mêmes limi=tes, mais plus simples que la proposée.

Le chapitre III est consacré à l'étude de certaines fonctions entières, dites fonctions analogues à celles de Legendre ou polynomes de Jacobi. Ces fonctions ont été considérées pour la première fois par Jacobi dans son mémoire sur la série hypergéométrique, inséré dans le T. LVI du Journal de Crelle. Les propriétés de ces fonctions découlent presque immédiatement de leur définition comme dénominateurs des réduites dans le développement en fraction continue d'une intégrale de la forme indiquée ci dessus et se déduisent sans le secours des séries hypergéométriques, sur lesquelles on fait ordinairement reposer la théorie de ces fonctions. On trouvera ici, entre autre, les démonstrations de quelques théorèmes élégants, énoncés par M. Stieltyes dans les Comptes rendus 1885.

L'application de la théorie exposée dans, le premier chapitre au calcul approximatif des intégrales définies fait le sujet du ch. IV. Les expressions des termes complémentaires dans les diverses formules des quadratures approchées sont déduites, à la manière de M. Markoff {Math, Annalen Bd. XXV. Sur la méthode de Gau^s etc.\ au moyen de l'expression du terme complémentaire de la formule d'interpolation de La grange généralisée, donnée par M. Hermite dans le t. 84 du Journal de Borchardt.

Le dernier chapitre V est consacré à l'une des plus belles applications des fractions continues algébriques, provoquée par les recherches ingénieuses de M. Tchébicheff. La question dont il s'agit consiste à trouver les valeurs limites, c'est à dire, le maximum et le minimum de l'intégrale

Qi3f)mdy

d'après les valeurs données des intégrales

jf(y)dy, jymdy, jfmdy, . r.ji/f{y)dy,

X étant un nombre donné, compris entre a et 6, f{y) — une fonction inconnue, positive entre les limites de l'intégration et O(^) — une fonction quelconque donnée, assujétie seulement à quelques restrictions, concernant le. signe de O {y) et de ses dérivées successives jusqu'à l'ordre i«.-*-l, pour les valeurs de y comprises entre a et 6.

Cette question a été posée, pour le cas de û (y) = 1 , par M. Tchébicheff dans son mémoire «Survies valeurs limites des intégrales», inséré dans le Journal de mathématiques pour

C'est à M. Markoff que nous devons la première résolution de cette question dans toute sa généralité. La solution de M. Markoff a été publiée par lui dans son mémoire aSur quelques applications des fractions continues algébriques» en russe, à St. Pétersbourg 1884. C'est cette ' solution même, quant aux traits principaux, que nous reproduisons ici.

Mais, en cherchant de simplifier autant que possible l'exposition des résultats définitifs, nous avons substitué à quelquesunes dçs démonstrations de l'auteur d'autres, plus simples, et nous avons ajouté aussi quelques considérations sur la distribution des racines des équations à la résolution desquelles se ramène toute la recherche, et dont on pourra apprécier la valeur, essayant d'appliquer les formules générales à des exemples.

Récemment, M. Tchébicheff à publié les résultats de ses propres recherches sur la même question {Sur la représentation des valeurs limites des intégrales au moyen des résidus intégraux, en russe. Mémoires de l'Académie des sciences de St. Pétersbourg pour 1885). Une traduction française de ce mémoire doit paraître prochainement dans les «Acta Mathematica».

, Les expressions des valeurs limites de l'intégrale proposée y 8oiit données sous une forme très simple et élégante, mais les principes, sur lesquels repose la solution, ne sont pas indiqués.

On trouvera la démonstration des formules de M. T c h é b ich ef f dans le n^ 17 du ch. V.

La résolution de quelques questions des maxima et minima, qui se ramènent aisément à la question énoncée ci-dessus, terminent ce chapitre.

Le but principal que nous avons eu en vue, en publiant ce tiavail, était de contribuer à la connaissance des résultats déjà acquis dans ce genre de recherches, qui sont encore loin d'être épuisées, essayant de présenter un ensemble assez complet de ces résultats sous une forme tout à fait élémentaire.

St. Pétersbourg, Novembre 1886.

TABLE DBS MATIÈRES.

Pages.

Chapitre I. Propriétés fondamentales des réduites de la fraction continue provenant du développement de Tintegrale

f(y)ày 1—27

Chapitre II. Formule d'interpolation par la méthode des moindres carrés. Représentation approchée des intégrales définies au moyen d'autres, prises entre les mêmes limites 28 — 47