Chapitre V. Sur les valeurs limites des intégrales
Ohapitre X.
Propriétés fondamentales des réduites de la fk-action eontinne, provenant dn développement de l'intégrale
1. Dans tout ce qui suit, nous supposerons les quantités a et & réelles, & > a, la variable y et la fonction f(y) aussi réelles entre les limites d'intégration.
Posons
[ mdy .
en développant cette fonction suivant les puissances décroissantes de z, nous aurons
où
dy.
La fonction F{z) peut être aussi développée en fraction continue de la forme
Îlï 3â> • • • ?n' • • • ^**^* ^^^ fonctions entières de £? et Ci, Cj, . . . c^,f' ^ ' des constantes, dont les valeurs peuvent être choisies arbitrairement. On peut disposer des valeurs de ces constantes pour Mre, si on le juge à propos, les coefficients de la plus haute puissance de B dans les fonctions ^i, jg,. . . 2^,. . . égaux à l'unité, ou à d'autres nombres donnés à priori.
2. Désignons par ^Jjs) ou ^^ le numérateur et par f^Jji) ou 9^ le dénominateur de la »*"* réduite de la fraction continue (2). Nous aurous
et en général
*2 = Cl22, 92 = 2iÎ2 — ^2 Tn-*-i ?n-*-i Tn
rn ^w-*-i Tn— l I ?«— <^n-i-i?n-i)
ï n-*-i ?n-i-i Tfi"
ces formules étant vraies pour n > 1, en convenant de poser
^0=0, 9o=l- Les formules (3) donnent comme conséquence
^n^i?n- ?n-i+n=^i^2- • -^n-Hi (*)
9n-*-i 9n Vn9n-*-i 9n(3nH-i 9n— «^n-f-i 9n— i)'
En remplaçant le quotient incomplet q^^^ par le quotient complet jer^^j et remarquant que
F^^^ désignant une fonction qui s'annule pour 0= oo, nous au-
rons
F(0) — ^ = ^i<^2-'Cn-
tiH-i
Cig2--*gn-i-i /K\
Désignant par 8^ le degré de 9^ et remarquant que le degré de 9«^i ^^* ^^ moins égal à 1, la formule (6) donne pour la limite de
une quantité finie ou 0. Donc, dans le développement de
suivant les puissances décroissantes de z^ le premier terme sera de degré < — (28^-+-l).
Cette propriété de la fraction réduite est caractéristique, car on peut démontrer la proposition suivante, réciproque de la précédente, savoir:
Si ~ désigne une fraction rationelle, dont le dénominateur est de degré jx, telle que dans le développement de la différence F{z) — * suivant les puissances décroissantes de z le premier terme est de degré < — (2ii.-f-l), cette fraction * est une des réduites dans le développement de Fiz) en fraction continue.
En effet soient
les expesants de la plus haute puissance de z respectivement dans
Soit 8^^^ le premier de ces nombres qui surpasse jt; on aura 8 > a>8
Cela posé, la formule (5) pouvant être écrite de la manière sui-
Tante
donnera un développement de la forme
Or, par condition on a
et comme
on voit que la différence
eat de degré < — (ti.-*-8J, ce qui exige que ^9^ — 9+^ se réduise à 0, donc ^9„ — 9^^ = 0,
3, Dans tout ce qui suit nous supposerons que la fonction f(i/) reste positive entre les limites de l'intégration.
Théorème 1 . La fonction f(y) restant positive entre les limites a et by tous les quotients incomplets dans le développement de l'intégrale
h \ f(y)dy £1
sont des fonctions linéaires de 3.
Four le démontrer, multiplions les deux membres de la formule
^^nW giC2--gn-4-i
9nW (9n 'n-»-i— ^n-*-l 9n— i) <Pn
par 9„V)> i^^us aurons
ou
= +nW9nW
« ^ — F ^ ^n-*-i yn— 1 rn
Remarquant que ?w!(^^^y) ^g^^ ^j^^ fonction entière de £f, que
^fi-».i ^* ^1"^ ^^^* ^®^ fonctions qui s'annulent pour ^sr = oo et supposant pour un moment que le Hégré de q^^^ soit supérieur à 1 , on arrive à une contradiction, car dans cette supposition le coefficient de -j dans le développement du second membre de la. formule (6)
est évidemment égal à zéro, tandis que le môme coefficient dans le premier membre est représenté par
\9niy)f(if)dy
quantité plus grande que zéro, tous les éléments de l'intégrale étant positifs. Donc q^^j doit être linéaire par rapport à e.
En désignant par a^^^ le coefficient de a dans l'expression de g^^p on aura, d'après la formule (6)
9n'iy)mdy= ?Lipw. (7)
Corollaire 1 . Le dénominateur (fjjs) de la n^^ réduite est une fonction entière de degré n; le premier terme dans le développement de
suivant les puissances décroissantes de z est de degré — (n-i- 1).
Corollaire 2. Si les constantes Cj, c^, . . c^^^ ont des valeurs positives, les coefficients a,, a^,. . . a^^^ et par conséquent, les coefficients des termes le plus élevés dans les fonctions fi(z)y (f^{z) . . . 9„-,-i (^) 8^^* *^8si positifs.
4, La formule (5) qui nous à conduit au théorème précédent, fournit aussi les expressions des fonctions ^J-sf), Ii^{z) au moyen de la fonction 9^(^). Multipliant les deux membres de la formule (5) par 9^(j), nous aurons
Cn-#-i <Pn— i
OU
d'où, en comparant entre elles les parties entière et fractionnaire des deui membres, on aura
^„(*)==jl^V(y)rf2/ (9)
■fe
5. Nous dirons souvent, pour abréger, qu'une fonction F{z) est de degré ( — i*.), si dans le développement de F{z) suivant les puis* sauces décroissantes de z^ le premier terme est de degré = — jj..
11 est facile de voir que deux fonctions F{is) et F^{z)^ dont la différence F(z) — Fi{z) est de degré < — (2w-i-l) par rapport à z^ ont les mêmes réduites jusqu'au rang n inclusivement, dans le développement en fraction continue de la forme
a^B-^hi'
Og **♦- \ • ^
En effet, en désignant respectivement par '^ et ^^ les réduites
de rang n dans les développements de F{z) et J\(^), on aura par définition
•t yZ) çT ^^ 02n-*-i "*■ gin-^-z -*-...
■^iW — J^ — Bin-4-i ^" 52n^« *t- . . .
d'où il suit, remarquant que F{z) — Fi{z) est de degré < — (2n-i-l) par condition, que la différence
+n <^n '»f»/n— ^nyn
9n fn 9nfn
est de degré < — (2n-Hl), ce qui exige que ^J^^ — (0^9^ = ou
sans quoi cette différence serait de degré > — 2w.
n suit de cette remarque que pour calculer les réduites jusqu'au rang n inclusivement dans le développement de l'intégrale
il suffit de connaître les 2n premiers termes de son développement en série
^" .îfi
c'est à dire les quantités
h=jf(y)y'
dy
et (le développer en fraction continue l'expression finie
Si pour fixer les idées on prend tous les nombres Cj, Cg, . . c^^j * . . égaux à l'unité, le développement
coiric^idera dans les premiers n quotients incomplets avec le développement de F{0).
Si l'on connaissait un terme de plus dans le développement de riiitv'^grale
eu st'rie, on aurait en développant l'expression finie
m fraction continue
FM) = î-^ 1
un développement qui coincide avec celui de l'intégrale dans les n premiers quotients incomplets et dans lequel, en outre, le coefficient ^n-è-i ^^ ^ ^*^^ ^^ quotient suivant est égal au coefficient correspondant dans le développement de Fija).
Eneflfet, soient respectivement q^^^^ et Xn^i l^s quotients incomplets de rang n -h 1 dans les développements de F{0) et F^{z)\ les. réduites de rang n-f- 1 seront respectivement
^^n-»-l gfi-f-i ^^n— 4^n--i ^^ <^n-i-i Xn-i-i '^n— '^n-i
P=-^ p étant les réduites des rangs n — 1, n communes aux développements de F(^z) et F^{2). *
Les différences
étant de degré — (2w -i- 3) et
F(z) — F^{is) de degré -(2w-h2), on voit que la différence
9n-i-i /n-»-i \9n-#-i W v/n-#-i <Pn/ 9n-i-i9n /n-«-i 9n'
est elle même dej degré — (2n -f- 2), ce qui ne peut arriver que sous la condition que les coefficients de ^r**^* dans 9^^^ et f^^^ ou, ce qui revient au môme, les coefficients de 2 dans q^^^ ^^Xn-t-i soient égaux, ce q. f. d.
6. La formule (9) conduit à la propriété fondamentale et caractéristique de la fonction 9„(^), qui peut tenir lieu de la définition de cette fonction.
Développant le second membre de (9) suivant les puissances décroissantes de ^, et remarquant que BJ^z) est de degré — (n-i- 1) par rapport à Zj nous aurons les égalités suivantes
JAy)?„(y)î^rf2/i=0,. . . j/^(y)9jy)î^"^^eîy=0. .(10)
qui entraînent comme conséquence la formule
^m9^y)0^^,{y)dy^O. (H)
^n^jiy) désignant une fonction entière arbitraire de degré <n — 1. Cette formule entrâine elle môme comme corollaire l'égalité
m9m(i^)9n(y)dy=(^^ (*2)
pour w^n, qui est d'un fréquent usage dans les applications.
L'égalité (11) peut tenir lieu du système des égalités (10), en laissant à la fonction 0^^{y) toute sa généralité et définit complètement la fonction entière 9^(xf) de degré n, en faisant abstraction d'im facteur indépendant de ^, car on peut démontrer facilement que toute fonction entière de z de degré w, satisfaisant à l'équation (11), ne diffère de 9^(^) que par un facteur constant.
En effet, les fonctions 9o(^), ff^{z\ . . . <fjis) étant respectivement de degré 0, 1, . . . n, toute fonction entière 0{z) de degré n peut être représentée sous la forme
*(^) = A9oW-+--^i?i(^)-»- • • • -»- A?n(^)»
A^j Au * . . A^ étant des constantes.
Supposant que'
<^(îf)^u-i(y)fiy)dy=o
et mettant pour ^„i(y) successivement nous aurons en vertu de (12)
^,[A«/)9/(y)% = 0, d'où ^,=
pour i=0, 1, 2, . . .(n— 1).
Donc 0{y) = A^(fjif) ce j. /. d.
7, Nous allons établir maintenant les propriétés principales des fonctions 9^(^) et ^Jiz) qui découlent très simplement de l'équation de définition (11). Nous désignerons dans tout ce qui suit par â^{0) une fonction entière arbitraire de js^ de degré < }l.
Théorème 2. Toutes les racines de Téquation
sont réelles, inégales et comprises entre les limites a et 6. Pour le démontrer, supposons en premier lieu que l'équation
ait une racine imaginaire
la racine conjuguée sera
^a=a-PV-l, et
4>{z) désignant une fonction entière de degré n — 2, Posant dans l'équation (11)
nous aurons
ce qui est impossible, tous les éléments de l'intégrale étant positife. Supposant en second lieu, que (fj^z) admette une racine double réelle, nous aurons
0{z) étant une fonction entière de degré n— 2; posant tf^j(y)=(P (y), on aura d'après l'équation (11)
ce qui est impossible.
Supposons en fin qu'il existe une racine réelle y plus grande que b ou plus petite que a; nous aurons
0(0) étant une fonction entière de degré n— 1 ; faisant ^„i(y)=cP(y), Téquation (11) donne
ce qui est impossible, tous les éléments de l'intégrale étant de même signe dans l'un et l'autre cas.
Donc, le théorème énoncé est démontré.
Remarque. H est important de remarquer que la démonstration de l'impossibilité d'une racine imaginaire où d^une racine double n'exige pas que la fonction (fjy) satisfasse à l'équation
pour toute fonction entière ^^^iC-s^) de degré n — 1; il suffit que la fonction <fjz) satisfasse à l'équation
équivalente au système de n — 1 équations
\f{y)9n(2f)^y-^o, jyAy)?n(^)^y=Ov.. Jy''~Y(2^)9„(y)d2/=o.
Les mêmes conditions suffiiraient, si on voulait établir l'impossibillité de deux où d'un plus grand nombre de racines réelles en dehors des limites a et 6. Ainsi nous pouvons énoncer un théorème plus général que le précèdent, savoir:
Hf f(jg) tui QM knrtim entière de degré n, satis&isuit i la
jVî^juatiori
aura Umim »e» racines réelles, inégales et ne pourra avoir qu'une nmiU) racine en dehors des limites a et 6. L'expression générale des fonctions (f(z) auxquelles se rapporte ce théorème est
A ci li étant dos constantes.
Théorème 3.
(P(^) désignant une fonction entière de degré < 2n — 1 , on aura
/•0^)(P(y)rfy = V Jj^^<P(^,) (14)
*u -^tf» » • • *H ^^*^ï^* l^^^ racines de 9^(?) et 9^'(^) désignant la dériviH^ ilo 9^^), Cotto formule importmit^ donne, comme on voit, Tex-
Ay^*(i/Wy
iu uunii^u dt^ M Y;ileur$ p^ticuUèx^ di» la fonction ^\
IVur U vlouuHiln^r. do:>î^u>us jw ^^^^jU'^ le quotient et |«r ny) W n^ti^ vit' 1;^ divi^^vm kW 4^ytA jw 9^\yV
— 15 ~ Pour
D'après la formule d'interpolation de Lagrange, on aura
1=1 Mettant cette valeur de riy) dans l'équation
multipliant par f{y)â/y et intégrant entre les limités a et h^ on aura, en vertu des formules (1 1) et (8)
où
ce 2. /l rf.
Théorème 4. Toutes les racines de l'équation
sont réelles, inégales et séparées par les racines de l'équation
Pour le démontrer, nous allons établir que tous les nombres
z^ — désignant une racine quelconque de 9^(^), sont positifs, d'où en vertu du théorème de RoUe, découle immédiatement qu'entre deux racines consécutives de f^Jjs) se trouve une et une seule racine de W-^)» ^^ 4^'il s'agit de démontrer.
La formule (8) donne
>lW ^ f VnM f(y) dt,
Or, d'après la formule de Taylor
â(î/) étant une fonction entière de degré n — 2. Multipliant les deux membres de cette égalité par
et intégrant entre les limites a et 6, on aura en vertu de la formule (11)
Cette formule met en évidence que
Corollaire. Lorsque toutes les constantes Oi, Cg,. . . c^, c^^^ ont des valeurs positives, les racines de l'équation ^^—li^) == ^ ^^^* ^" parées par les racines de <p^(^) = 0.
En effet, en faisant ^ = ^^, la formule (4) donne
donc ^n(^i) et 9^__, (5^.) sont des quantités de même signe, ce qui entrâine l'inégalité
qui démontre la proposition énoncée.
Remarque. On voit immédiatement que le théorème 4 peut être généralisé de la manière suivante:
Si ff{z) est une fonction entière de z de degré n, satis&isant à la condition
f/*(y)9(y)^n-.,(y)rfy = o
tous les nombres "1^, z^ désignant une racine quelconque de (f{z),
seront positifs, d'où il suit que toutes les racines de ^z) sont réelles, inégales et séparées par les racines de (f{z). En effet, on aura ici, comme plus haut,
ce qui met en évidence la proposition énoncée.
De même, si 0{z) désigne une fonction entière de z de degré < 2n — 2, on aura la formule, analogue à la formule (14)
j^(y)mdy = '^^)^i^i) (1»)
8. Dans quelques applications il y a lieu de considérer simultanément avec la fraction continue qui provient du développement de l'intégrale
les ^aetrotis continues qu'on obtient en développant les trois intégrales suivantes
Nous désignerons les dénominateurs des réduites du rang n de ces fractions respectivement par
1) V„, 2) F„, 3) Ty„.
Comme les fonctions
(lf~a)f(jy), (h-y)f{y\ (j, — a){b^y)f{y)
ne changent pas de signe entre les limites de l'intégration, nous pouvons appliquer ici les théorèmes 1 et 2 et nous pouvons dire que les racines des équations
u^o, F„=o, ïr„=o
sont réelles, inégales et comprises entre les limites a et h.
Tj6S équations qui peuvent servir à la définition des fonctions
^n^ Kf K 8^«t b (y-a) f{y) UJy) â^^Jy)dy = (a)
j{h-y) m r,{y) â^^(y)dy = (?)
j{y - a) (b—y) f{y) W^iy) û^^^(y)dy = (y)
A l'égard des fonctions U^, F^, W^ nous allons encore démontrer quelques théorèmes^ analogues au théorème 4, qui nous serons utiles dans la suite.
Théorème 5. Les intégrales
ont des valeurs positiTes.
En effet
lJ.{y)=^U,(a)^{y-a)V:{a)-^.. ^^f^U^-\a)
ou
6{y) étant une fonction entière de degré n — 1; par eonséquent
Lu„(a)J — Z7„(a)-*- I7«{a) ^nW
et en yertu de Téquation (a)
Jg^!Art<i»=J[ftiT('»% (»)
En raisonnant de la même manière, on trouve
jWyw-^^jW'w* (')
Les formules (8) et (e) démontrent le théorème énoncé.
Théorème 6.
Les intégrales
ont des valeurs positives.
En effet
â(y) étant one fonction entière de degré n — 1; par conséquent et en vertu de l'équation (y)
On trouverait de la même manière
Les formules (X) et (pi) démontrent le théorème énoncé. 9. Nous savons que toutes les racines des équations
sont comprises entre les limites a et b.
Les théorèmes suivants se rapportent à la distribution mutuelle de ces racines.
Théorème 7. Les racines de l'équation
sont séparées par les racines de l'équation
<P(«) = (*-&)FJ;er) = et réciproquement, les racines de l'équation
sont séparées par les racines de l'équation
En effet, la fonction ff(js) satisfait à la condition
\m9(y)^n^i(y)dy = o.
Donc, désignant par U{z) une fonction quelconque entière de dégré <2n, on aura d'après la formule (16) en y changeant n par »-f- 1
^i> ^a> • • • ^n-»-i ^*^^* 1®^ racines de l'équation
et
Posant
et remarquant que
\f(y)^(y)â,^,(y)dy=jf(yny-b)V^{y)o^^^^^
m aura
*'''ÏÏ^,^(^i)^n-M)=0 (V)
En faisant ici
^k^ ^jfe-i-i é**^* ^^^ racines consécutives de l'équation f^z) = 0, nous
aurons
tf^i(^^) =1= 0, pour i différent de A; et de i -+- L La formule (v) se réduira donc à la suivante
Or les quantités ^^x, *1/?|*)^' ^**^* positives, d'après le théorème 4 généralisé, il suit de ce qui précède que
<P(^»)9'K) et â>K,) ?'(^4^,)
sont de même signe, donc, en vertu du théorème de Rolle, entre deux racines consécutives de l'équation
m trouve une et une seule racine de l'équation
0{z) = (B-b)VJz) = O .
ce qui suffit évidemment pour établir le théorème énoncé.
Théorème 8. Les raciues de l'équation
9„(«) = sont séparées par les racines de l'équation
et réciproquement, les racines de l'équation
sont séparées par les racines de
La démonstration est tout à fait analogue à la précédente. Désignant par U{z) une fonction entière de degré <2n — 1, on a
^ij ^2J • • • ^n ^^^^ ^^^ racines de 9,(0).
Posant
et remarquant que \
on aura
et faisant
/9 (g\ — ^nv*;
on obtient
d'où il suit que les nombres
sont de même signe, ce qui suffit pour démontrer le théorème énoncé.
10, Nous avons remarqué, que pour calculer les réduites jusqu'au rang n inclusivement dans le développement de l'intégrale
^f(y)dy
il suffit de connaître les 2w
quantités
Oq, a,, ttg,. .
Ur,
remarquant que
'dy.
— a)y-àb)f(2/) .
f {y^a)(P^y)f{y)dy ^f (^y^^{h--
— Oj-i- (b — a) «1— dboLQ — a,-!- {h — a) ag — o&tt|
on voit que les mômes données suffisent aussi pour calculer les redoutes jusqu'au rang n — 1 inclusivement dans le développement de
rintégrale
\ iy^a)(l,^y)f(y)dy
Il suit d'ici que la fonction W^y^ peut être exprimée au moyen des fonctions 9^, 9„i,. . . ?i, 9o- ^^^^ trouver cette expression, remarquons que la fonction
est déterminée à un facteur constant prés par l'équation
Or, on aura évidemment une autre solution de la même équation, en posant
^ et £ étant des constantes, donc
G — désignant aussi une constante.
On détermine les constantes A et B, en faisant z = a, z = b^ ce qui donne
<PnW
<P n— 1 (^) <Pn— I («)
yn— I W ^n— 1 («) <Pn(&) <Pw(a)
D'où l'on déduit
ou d'une manière plus symétrique
1 (<Pn~i(g) <Pn~iW ) 1 [ yn~iW <Pn-iW |
9nW <Pn(a)
Si Ton suppose les coefficients des termes le plus élevés dans W^n-i(^) ^* 9n('^) égaux entre eux, on devra prendre C?= 1.
11. Nous avons remarqué aussi que pour calculer les réduites jusqu'au rang n et le coefficient a^^j dans le développement de l'intégrale
a, jt -H b,
a^M-*- ftj —
il suffit de connâitre les 2n-i- 1 quantités a^, ai,. . . a^„j, a^^. Or, remarquant que
on voit que les mêmes données suffisent pour calculer les fonctions
Donc ces fonctions peuvent être exprimées par 9^, 91,. .9^ et par le coefficient «^^j.
Pour trouver ces expressions, remarquons que la fonction
0(z) = {z-a)U,{z) satisfait à l'équation
JAy)^(y)^«-.{y)^y=o.
Or, l'expression générale des fonctions entières de degré n -i- 1 , satisfaisant à cette équation étant
= A [{a^rv -*- &«-.-,) ?n (y) — 9„i (y)] -»- -PÇn (â*)
= ^ [(««^ . y -»- G) ?n (2') - ?«- »] ' ^ et (7 désignant des constantes, on aura
Faisant ,? = a, on aura
-, „ . ri <Pn— 1 («)
(^-a)£7„(.)=^{<p„(.)(a^,(.-a)-H2^^)-9„,W).(18) On trouverait absolument de la même manière
Si l'on suppose les coefficients des termes le plus élevés dans ÏJJjs) et VJ/) égaux entre eux, il faudra prendre ^ = -4i et les formules (18) et (19) donneront
^nW J I 9 n-iW 9n-iW ) ^
Ohapitre H.
Formule dlnterpolation par la méthode des moindres carrés. Représentation approchée des intégrales définies an moyen dautres, prises entre les mêmes limites.
1, Nous allons indiquer maintenant quelques applications immédiates des formules générales.
La formule
fiy)9miy)9n(y)dy=^^^ ^>^ (12)
permet de résoudre immédiatement les deux questions suivantes: 1 ) Parmi tous les polpomes entiers de degré n, de la forme
trouver celui, pour lequel l'intégrale
\^{x)f{x)dx
fiw) étant positive entre les limites d'intégration, ait la moindre valeur possible.
Solution. Soient %{x)y <fi(x\ . . . <fjix) les dénominateurs des réduites successives de la fraction continue qui provient du développement de rintégrale
f(y)dy , y '
Nous pouvons disposer des constantes Ci, Cg, . . . de la sorte que les coefficients des termes le plus élevés dans les fonctions ^f^{x) soient égaux à 1 . Le polynôme inconnu pourra être écrit sous la forme
-4j, -4,, . . . A^ étant des constantes.
Les équations de condition du minimum de l'intégrale considérée sont
c'est à dire
\0{x)(pf^{x)f{x)dx=^O, fc = 0,l,2,...(n— 1)
En mettant pour 0{x) son expression, rangée suivant les fonctions cp^(a?), on aura, en vertu de la formule (12)
Aj(f,Hx)f{x)dx =
ou
A^= 0, pour fc = 0, 1 , 2, . . . (n — 1).
Donc le polynôme cherché est
La yaleur minimum de l'intégrale
est égale à
\9n{^)Mdx = c,c^. . .c^^^.
2) Parmi tous les polynômes entiers 0Jx) de degré n, trouver celui, pour lequel l'intégrale
Q{x) étant une fonction quelconque donnée et f[x) restant positive entre les limites d'intégration, ait la moindre valeur possible.
Solution. Le polynôme cherché peut être représenté sous la forme
^n(^) = Co9o(^) ^ Ci 9i (^) -*-••• -*- 0^9n(^\
Cq, C?!,. . • G^ désignant des constantes et ç^C^), ?i(a;),. . . (fjx) étant les mêmes fonctions que dans la question précédente.
Les équations de condition du minimum de l'intégrale proposée donnent
jm[0,ix)-Q{x)]<f,{x)dx = O
pour h=Oy 1, 2, . . .n, ce qui se réduit ans
en vertu de la formule (12).
On en déduit
J/{a;)û(«)ç»(«)<te
et le polynôme cherché est
k=^njf(x)Q(x)fpkiP^)dx
X;=o jf(x)çjf^{x)dx a
Cette expression du polynôme dHnterpolation par la méthode des moindres carrés à été donnée par M. Tchébicheff. (Voir Journal de Liouville, T. III, 2""' série).
2. Losqu'une fonction Q{x) est développable en série infinie de la forme ^
0(^) = Co?o(^)-*-C',9iW-»-.. '*'G^fJx)^....(i)
uniformément convergente pour toutes les valeurs de x entre les limites a et 6, le coefficient C^ du terme général aura la valeur
j/{x)Q(œ)f^^(x)dx
if{t^)9nHx)dx
En effet, multipliant par f{x) <^Jx)dx et intégrant entre les limites a et 6, la série (1) donne, en vertu de l'équation (12)
^mQ{x)r^^{x)dx=c^. [m^^^
La somme de (n-nl) premiers termes de la série (1) est précisemont le polynôme OJ^x) qui donne, par rapport à tous les autres polynômes de même degré, la moindre valeur possible à l'intégrale
f{x)[Q{x)-0^{x)fdx (3)
et représente ainsi le polynôme de degré n le plus rapproché de la fonction Q{x\ pour les valeurs de x situées entre a et 6, si l'on convient de prendre pour mesure de l'approximation la valeur de l'intégrale (3),
Nous n'avons pas jusqu'à présent de moyens pour assigner, en g:6néral, les limites de l'erreur qu'on commet en remplaçant la valeur de la fonction il{x) par la valeur du polynôme OJx\ c'est à dire en arrêtant la série (1) à un terme déterminé et négligeant la somme de tous les termes suivants.
Mais il est très remarquable *), qu'on peut donner l'expression précise du terme complémentaire de la série qu'on obtient pour la ie])résentation de l'intégrale
f{x)Q,{x)a^(x)dx (4)
en multipliant entre elles deux séries de la forme (1) qui représentent les fonctions Q^ix), Q^{x) et intégrant le produit f{x)Q^{x)QJix) entre les limites a et 6.
Les propriétés de ce terme complémentaire donnent le moyen d^assigner la limite supérieure de la valeur numérique des coefficients do la série (1) et dé juger ainsi du degré d'eïactitude avec lequel cette série, arrêtée à un terme déterminé, donne la valeur de la fonction Q{x). — La forme de la série, représentant l'intégrale (4), s'obtient en prenant pour point de départ les séries
Û,(aî) = A9o(^)-»-^i9i(^)-*-----^-^n9n(^)-^---
*) Comme Ta montré M. Tchébicheff (Communie, de la soc. math, de Charkow 1883 et Mémoires de l'Acad. de St.-Pétersbourg (en russe) 1883. T. XLVII).
où
J/(aî)û,(a!)9*(x)d«
^f(x)Q^(x)9kix)dx
En multipliant ces deux séries et intégrant ensuite le produit f[x)Q^(x)il^{x), on aura pour le développement de
f{x)Çl,{x)Cl,{x)dx
une série, composée de termes de la forme
jf(x) Ûi (x) 9m («) àx . jf(x) Q^ [x) ç„ (a:) dx
jf(x) 9m" (aï) dx . J/(x) 9n« W d^
•jAa')<P«(a!)9„(a!)rfa;
où m, n réçoirent toutes les valeurs entières de à oo. Or
fi^)<^m(^)9n(^)d^=0
pour w^n, donc on aura le développement de la forme suivante
m=c» jf{x) Ûi (a?) <fm («) àx,jf{x) Û, (x) 9^ (a?) (te
ax)Q,{x)Q,{x)dx='^ « .^ ^ .
n s'agit maintenant de trouver l'expression du terme complémen* taire R^ de cette série, arrêtée au terme qui correspond km = n — 1 .
Nous allons reproduire ici l'analyse, que nous avons <5ommuniquée dans une note, insérée dans le Bulletin de MM. Darboux et HOuel 1883.
Soient
aî|, x^^ . . . x^^^^
n -4- 1 quantités indépendantes, comprises entre les limites a et b. Posons pour abréger Oi(a?) = tt, Oa(a;) = t;, et désignons par «*i, Wg, . . . w^^p et Vi, Vj, • . . v^^^ les valeurs de u et de t;, pour
ce —' X* y Xn ^ • • • X
Introdaisons eneore les notations suivantes:
«Po.
A,^j(r) désigne le déterminant qu'on obtient de A,^,(») en y remplaçant M par (\
i 9m-Mx\ "P»,(-^»>7' ••?•,(•«'»> ■■
9^^X^>, ®,txA ... <?i(>J
j-(»»-^<) désignant le résultat de w -h 1 intégrations par rapport aux variables x^, x^,. . . x^^^^, entre les limites a et 6;
Toutes les intégrales que nous aurons à considérer étant prises entre les mêmes limites, nous nous dispensons d^écrire ces limites.
Nous allons chercher la formule de réduction de Tintégrafe multiple «^n— 1(^> v), c'est à dire la liaison entre J^^^^iu^ v) et J^^^^iu, v); cette formule nous donnera la série cherchée avec le terme complémentaire.
En développant les déterminants A^^^(t*), à^^^{v) suivant les éléments de la première ligne, nous aurons
où A^^ B^ désignent les déterminants mineurs indépendants de x^. Donc
où la première somme est étendue sur toutes les valeurs de i
f=l,2, 3,...(n-Hl)
et la seconde sur toutes les combinaisons des valeurs
i=l, 2, 3,...(n-*-l) fc=:l, 2, 3,.,.(n-H 1)
à l'exception des combinaisons dans lesquelles i = X;; le nombre de termes de la première sonmie est n -h 1 , celui de la seconde est n(nH-l); tous les termes de chacune des sommes s'obtiennent d'un seul par la permutation des lettres x^y x^y. . . x^^^.
Multipliant par
IIa^<)^^<
et intégrant (nn-l) fois, l'égalité précédente donne, d'après ce qui est exposé ci-dessus
(fM-l)
-H w (n -H 1 ) 1 9„i(a'i) <P„, (aîa) 4 ^s fl ^^^''^ ^^< où
91K). ÇlC^^s)» ••• '^xi^n^i)
^1 s'obtient de A^ en y remplaçant u par v,
Le premier terme du second membre de la formule (5) se réduit éridemment à
= («-*- 1 ) I (p2„j {x) f(x) dx . J„^ (M, V).
Qnand aa second, on peat évidemment récrire sous la forme
Observant que
A=(-ir~'«:
B,= i-lTv,
?i(«8). <Pi(«i), ••• 9l(«„-t-i) ?o> 9o» • • • ?o
<a(a;) et a(x) étant des fonctions entières de degré n — 2 par rapport à X, et que
on voit que le second terme du second membre de la formule (5) se réduit à
— n (n H- 1 ) M (p„, (a;) /"(a;) rfa; . j t; (p„, (») /•(«) ia; . J„, .
Donc la formule (5) prend la forme
Jn-M' î?) = (« H- l)^„,(t«, V) J fix) 9'„»('ï') dx
— nin-t-l)J^^.\f(x)uf„^(x)dx.\f(x)v<f^^ix)d.
-'^ÇfT
Jn—xi*»,v) .
n («-1-1) J-„, .//{«) 9*„, («) dx
Jw-tK») J/(«) H <Pn-i (a) dx.j/(x) y »„t (x) <to
En faisant ici une supposition particulière sur les fonctions u et
V, savoir
et obseryant que
A„(<p„i) = A„, , J„, (9„, , <p„, ) = J"„, , nous aurons
et la formule (6) prend la forme
Jn~i (»■'-•) Jn— 2 (*, f) //(») u yn i <la;.J/(a!) « ç^,! dx
En posant ici successivement n égal à
2, 3,... M et observant que
JqKp) i //(««»— «i) («2— <'i)/('g|)/(%) <toi <fa;^
=Jue>A^)^x— > J/(.).to (8)
on obtient définitÎTement la formule
L ^ f(^) ^^ ^ yj « ^m-i («)/(«') «te-J«> ym-i («)/(«) àx
ce qui est précisément la formule de M. Tchébicheff, avec le terme complémentaire
^n— (n-*.l)J^«, VlW;
Cette expression du terme complémentaire peut être simplifiée, en faisant usage des propriétés connues des déterminants.
En désignant par A^ le coefficient de ^ dans l'expression de (p^(a;), nous pouvons évidemment représenter ç^i(i») sous la forme
1^0 > Pi» • • • l^fi— 2 ^*^^* ^^^ constantes; on pourra donc, en vertu d'une propriété connue des déterminants, remplacer les éléments de la première ligne
dans les déterminants A^i(w), ^n— 1(^)> ^n— i P*^ ^^^ quantités
et en général la ligne
9ife(^i)»9*(^a)---9*(^n-i.i) par la ligne
-^*^i ? -^*^2 > • • ' A^n-«-i • Après cette transformation l'expression de U^ devient
D„i (u) D„, (t.) n /(«<) «te,
(n-Hl)fD»„,II/W<?a'i ' 1
iî = ^! î .— (11)
où
S. Les propriétés du terme complémentaire £^ découlent très simplement de la formule siÙTante, concernant le déterminant
c>st à dire
=..r,-j ,V .u^,-x,>.AX^,-«.)5^
î teUûl un nombw. situé entw 1^ m-}nî^ liîuiîess œtrf lesquelles se tr>>UTent les nombrys x^, Xj,, • , j ,
Pour démontrer cette formule, observons qu'elle est vraie pour n= 1, car
D,(Q,ix)) =
Qiix,)y Q,{x^)
Il suffit donc, pour établir la généralité de la formule (12), de montrer, qu'étant supposée vraie pour une certaine valeur de n, elle le sera aussi pour la valeur de n augmentée d'une unité. En partant de cette remarque, transformons D^^(Q^{x)) de la manière suivante
2>„»(Oi(^)) =
(fl— 1)
a?2 Xi ^
X Xy
fl — 1 3/1 1 • • • •*'-,
Divisant les éléments de la première colonne par x^ — x^^ de la deuxième par x^ — x^, etc., on aura
J>>,~i(Qi(^))
Qi(«2)~Qi(^i)
Qi(^n^i)-Qi(^i)
ou, désignant
et simplifiant le déterminant précédent, à l'aide d'une propriété connue, on obtient
OJj , iCj
= !>„. («PCa^)).
Supposant maintenaiit la formule (12) vraie pour le déterminant -»„,(<?(»)), on aura
i>„x(0(^)) = (a'-a^)(a:»-«à). . »(^^-^n) iT~(n-i) '(*8)
g^ étant un nombre situé entre les mêmes limites, entre lesquelles se trouvent les nombres «„ oJj, . . . a?^^^.
Or, ayant
on aura
(pc»-»(a;)=(a;-a;ir*0,<"-*'(a;)-(n-l)(a;-a!ir*Oi<"-»>(ic)-*-. , . -H(- ir- 1.2.. .(n- l)(a; -tCir^COjCa;) - 0,M =
= 1.2...(n-l) ou enfin
6 étant un nombre compris entre x^ et x. Donc
E étant un nombre compris entre g^ et g.
En substituant le résultat précédent dans la formule (18), on a
ce q. f. d.
Appliquant là même formule (12) au déterminant
^„»(«') = I>n-.(Oa(^))
nous trouvons que le terme complémentaire R^ peut être représenté de la manière suivante
" f D*„.Ûi("> (ï) û»t"» (n) n/(«f) Ae,-
(1.2...n)«(n-^l)JD«n-in/(«,)<««.-
Or, si Ton pose dans la formule (9)
w = f; = 9^(ic),
tous les termes du second membre s'annulent à l'exception de 2î„, qui se réduit à
in)
(1.2...n)2(n^l).f2>»„in/(*t)^<
(f^^^ étant une constante = 1 . 2 . . . n. ^^ et la formule (9) donne
Donc, l'expression (14) de B^ prend définitivement la forme
J9\ix)f(x)dx
^n= ^ rg^7 on^ari-n) (15)
I et 7) désirant deux nombres compris entre a et b.
Cette expression de B^ met en évidence les deux propriétés que suivent:
1) La valeur numérique de B^ ne surpasse pas le nombre
b i9n^(x)f{x)dx
\,dx^ ]
Jfj et M^ étant les plus grandes valeurs absolues des dérivées
dx'^ > dx^
pour les valeurs de x comprises entre a et 6.
2) Si les dérivées ^/^^'^ changent pas de signe entre a et 6, B^ aura le même signe que le produit
â^u d^v dx^ ' dx^'
4. En faisani; u = Q(x% v = 9^(0;) dans la formule (9), on aura ^f{x)Q{x)f^^{T)dx = B^
donc en vertu des propriétés de JS^, on pourra dire, que )a valeur numérique du coefficient
^f{x)Q(x)^n(x)dx G =
^f{30)f9n^{x)âx
dans le développement de Q(x)
Q {x) = Co (po («) H- Cl <p, (ic) -•- . . . -4- C„, 9„,(a;) ne surpasse pas le nombre
-Sfi étant la plus grande valeur absolue de Qy^\x) entre les limites a et 6 et A^ le coefficient de x^ dans l'expression de <fjx) et si Qf'^Xx) ne change pas de signe entre ces limites, son signe sera aussi celui de G^.
En faisant /i = 1, f(x) =1, a = 0, 6=1, dans la formule
(9), on aura
uvdx = udx. vdx -4- B^
où
-^= 2 1 K— ^) (^9— ^l) ^^1 àX^
d'où découle immédiatement le théorème suivant de M. Tchébicheff, démontre d'une manière très élégante par M. Korkine dans les Comptes rendus T. XCVI:
Si les fonctions w et t; sont simultanément croissantes ou décroissantes entre les limites et 1 de la variable, on aura
uvdx > udx . j vdx
et
uvdx < udx . vdx
dans le cas contraire.
Plus généralement, ou tire de la formule (8) h h h h
lf{x)dx . f{x) uvdx — f{x) udx . f{x) pdx
a a ad
bh
la conséquence suivante:
\f{x) dx . \f{x) uvdx > u f(x)dx , v f{x) dx
quand ^-^ < 0, pour a<x<b, f{x) étant une fonction quelconque, positive entre les limites à et &.
On aura par exemple, en faisant
observant que
et désignant par a^ l'intégrale
))dx
l'inégalité suivante
En faisant a = 0, w = a?', t; = tr"*, remplaçant f{x) paric*/i(ir), f^{x) restant positive entre et 6, et désignant
on aura
Ohapitire III.
Sor les fonetioDS, aoalopes aui fonetioDS de Legendre.
Après avoir exposé les propriétés générales des fonctions qui proviennent du développement en fraction continue de l'intégrale
Çf(y)dy B-y a
indépendentes de la forme de la fonction f(y), nous allons maintenant nous arrêter sur la considération des propriétés spéciales des fonctions, correspondantes au cas particulier
a= — l,6=-*-l,en supposant les paramètres a et p > 0.
Le dénominateur de la n^^ réduite dans le développement de l'intégrale
r(i-^y)«-Mi-y)P-»dy
en fraction continue de la forme
g^ — étant linéaires par rapport à isr, est une fonction entière de z de degré n, que nous désignerons par TJjs) ou simplement par T^, en supposant le coefficient de 0^ dans son expression égal à l'unité. Les fonctions T^^ Tj, Tj,,. . . T^- • • sont connues sous le nom de fonctions analogues aux fonctions de Legendre ou de polynOmes de Jacobi, qui les a considéré le premier dans son mémoire sur la série hypergéometrique, inséré dans le T. III de ses Oeuvres complèteSy (éd. 1871) et dans le LVI tome du Journal de Grelle. Nous allons Yoir, que les propriétés principales des fonctions T^ peuvent être obtenues facilement, sans qu'il soit nécessaire de recourir à la théorie des séries hypergéométriques.
1. L'équation de définition des fonctions T^ est -+-1 [(1 -^-zf-'H - zf-'Tô dz=0 (1)
fi n-
d^^ désignant comme toujours une fonction entière arbitraire de degré £» — 1 et l'équation (1) tenant lieu d'un système de n équations distinctes, qu'on obtient en remplaçant 0^^^ par n fonctions entières indépendentes, par exemple par 1, ;8:, ^, . . . z^'^^. Convenons de désigner par T^^^ la fonction qu'on obtient en remplaçant a et p par a H- 1, p -h 1 dans l'expression de T^ et plus généralement par TJI^^^ — celle qu'on obtient en y remplaçant a, p par a h- m, P-i-m.
La fonction TJ^'^^ est définie par l'équation
|0 -*-^)"(l -^/C''9„id^ = (2)
Gela posé, on à la relation
En effet, en posant dans l'équation (1)
et intégrant par parties, on aura
OU
Or, (a — p — ioL-^^)z)â^^ étant de degré £ n — 1, la seconde intégrale est nulle et l'équation précédente se réduit à
[(l -*-^r (1 -*)^ l^^<9„,dxr = (3)
En comparant cette équation avec (2), on aura sur le champ
la constante G se détermine d'après la convention sur le coefficient de ^* dans T^, qui donne (7=w, donc
2. La fonction T„ satisfait à l'éqnation différentielle (l-^=')g-^(a-P-(a-HP)^)g-4-n(a-Hp-«-n-l)2/ = 0.
En effet, en posant dans Téquation (3) 0^^ = ^^^' et intégrant par parties, on aura
ou
d'où, en vertu de l'équation (1), on voit que la fonction entière de degré n
(l-^)^^-*-(«-P-(aH-P)^)^ (4)
ne diffère de T^ que par un facteur constant et comme le coefficient de ^ dans l'expression (4) est égal à
— n(w — 1) — n(a-i-p) = — w(a-+-p-f-w — 1), « on aura
^n(w — l-i-aH~p)r^=0 (II)
ce g. /l à.
Le procédé élégant exposé ci dessus de la déduction de cette équation différentielle appartient à M. Markoff.
3. La fonction T^ peut être représentée par la formule suivante
(a-Hp-nn— l)(a-*-p-i-w— 2)..(a^p-i-2n— 2) dj» ..(.IIX;
En effet, l'éqaation n peut être mise sous la forme
— n(aH-pH-n— 1)(1 -t-ijf~'(l - ef~^T^
d'où Ton déduit
dM
Or
dT,
ds
« = nT^.>
donc
^dz.
(a^p + n-l)J(l-*-irr--^(l-;^)P-^2; En intégrant encore une fois, on aura
jil^eni-BfTZ,dz =
(a^p^n— 1)| 1(1 -^ef^\l —ef--' T^ds^. .{%)
D'autre part, en remplaçant a, p, n respectivement par a-*- 1, p -i- 1, w — 1 , la formule (5) donnera
(l^^)«-^^(l^)P-*-i^ZW=i!!!
- (n— 1) (an-^-i-n) |(1 -•-»)* (1 — ^/T^!!,<i« . . .
Or
donc, en verta des équations (6) et (7) on aura (l-t-«)«-^'(l— ;j)P-^'TJl,=
En continuant ce procédé, et remarquant que T^=i 1, on aura enfin la formule
—1 —1—1 ou
ce qui est précisément la formule annoncée.
4. Cette formule donne le moyen le plus simple de calculer l'intégrale
En posant pour abréger
(1 ^ ^)«^«-» (1 af^-^'z=z u^
— 5.4 — on aura
(l^,f-^il-sf-^T=A/-^
dis.
En inté^ant par parties^ on aura^ en vertu de (I),
En continuant ce procédé, on aura successivement -♦-1
Jn=-nA\^^TZ.d.
= (l)-n(n-l)...2.J L ro^">d^ Or
2«-*-P->->»-^T (g ■*- n) r (P-H n) "^ r(ci-i-p^2n)
Donc
(a-np-fr-n— l)...(a-f-p-H2ii — 2)r(a-i-p-^2n)'
