OU
<f(e) = G{z—x)ig — x{){e — x^
avec les conditions
'){z — x^){js — x^dz=^0 . . . p . . > {a)
• Ol
qui donnent, en posant
. Xi-t-x^=p, XjX^=g, les deux équations
(«liC — Oj)!? — (a^a; — «i) 2 = *a* — «8
Ces équations étant résolues par rapport %piiq, donueiit réi[iiation suivante, dont les racines sont x^ et x^
rri = [(<V — *i) («2^ — a») — («i^; - Oj)'] Jî'
-H (ojo;— a2)(a,a;— aj— (Oj^— a,)2=0 [■>{)
2) pour (TgCiB) et 9,(2;) de signes différents, on aura
ou
avec la condition
){B-We =
c'est à dire d'où il suit
Les fonctions %iz) et ÎJ^C^) s'expriment comme il suit: % i^) = Ktti— ff i") ^'— («oOs— «1*2) ^ -*- OiOs— «2"
Désignant par z^ , z.^ les racines de cpg (jgr) et a^ y^ , y^ ^^^^^ ^® 1/2(^)5 nous savons qn^n aura
Les nombres <p^(^), £^3(0;) sont de môme signe dans les trois cas suivants
P lorsque 0<a;<^,
et de signes différents
4** lorsque e^<x<iy^
Supposant Xi<x.^, nous aurons nécessairement, d'après ce que nous savons sur ta distribution des racines des équations
?,(^)=0, U,{z) = 0, 9(^) = 0, dans le cas P
et par conséquent
o<Jrw*£ta,
où
Xiy X2 désignant les racines de Téquation (y). Dans le cas 2^ nous aurons
<x^<z^<yi<x<z^<x^<y^
et par conséquent
«1» (^1) = «5— (^ -»- ^a) «1-^ ^^3«o 9' (ai) = (^1— x) (2Pi— ^î).
Dans le cas 3<* on aura
<»,<a;i<y,<-?8<a!j<y,<a; et par conséquent
OÙ
«l* («a) = «2— (^ -^ «1) a, -*• aîa:i«o <p'(a;j) = (ir2— aj)(a;,— «,)
Dans le cas 4** on aura
<-ef,<a; <y,< ^ra< g,<yj
et par conséquent
9ll
+ (o) = Oj— (« -♦- El) «1-»- «ÊiOo
t]< (3!)= a,— a,Ç, , 9 (a;) = aj (a; — E,)
'I Œj— ai»'
Enfin dans le cas 5® on aura et par conséquent
«fi
16, 6>ir ïe^ ca5 où x annule une des fonctions
9M ï^n-x(4 u^i^), rjz).
Dans les cas où la limite supérieure de Tintégrale proposée
f{z)Q{g)dz
annule l'une des fonctions
les formules générales se simplifient et la différence entre les deux concentrations dans les deux cas du problème cesse d'exister. Examinons par exemple le cas où 9^(0;) = 0, c'est à dire le cas où x est une des racines du dénominateur de la n"^* réduite dans le développement de l'intégrale
Çmày
en fraction continue et supposons que le nombre de données mH pair. Les expressions' de (f{z) correspondant aux deux concentrations de ce cas, se réduisent à
l)'(p(^) = (^a)9^(^) ou 2)9(^) = (^ — 6)9^(^).
Les racines de l'équation 9 (^) = seront respectivement
l)a<^i<^2<. ••<^n ou
^ij ^2» • • -^n ^**^* ^^^ racines de <p{z).
En faisant
on aura pour x = Zf^j
Or
iJ5) — {f(y) (y-«)'Pn(y) dv
— f /-f ifi [(y - ■^<) -*- (*«- «)] <Pn (y) j„
i^ar
Donc, on aura
En faisant
2)(pW = (^ — 6)9j^)
on verra de la même manière que
et la seconde concentration donnera par conséquent les mêmes valeurs limitas de l'intégrale
que nous avons obtenues ci-dessus.
Examinons plus près le cas où, <f^{x) étant égale à zéro, on n encore Q{z)^=il.
Les inégalités (1) donnent alors
ï^^w^^iîî^ *^)
A l'aide de ces formules, on peut aisément tirer les inégalités donnant les valeurs limites des intégrales
\f{z)dz et \ fie) de.
En effet, observant que
on obtient
(#-ir^9n'(»<)"
En combinant cette égalité avec les inégalités (2)^ on trouvé
fw*22lj^ <3)
[f{z)dz<y^
•^ f=3fe
Googl^
En échangeant gj^ par z^^ {^i>^i^ da^s les inégalités (2), on ob-
tient
/«'""si;^ <s) ■
/wW|,^g • <«)
Retranchant l'intégrale
\az)dz
et faisant usage des inégalités (2), il vient enfin
Les formules (7) ont été données par M. Tchébicheff dans son mémoire inséré dans le J. de math. 1874.
17, Nouvelle forme des résultats définitifs dans le cas général.
M. Tchébicheff à donné récemment dans les mémoires deTAc. de St. Pétersbourg 1885 (en russe), sous une forme très élégante, les résultets de ses propres recherches sur la question que nous arong traité dans les paragraphes précédents, en se bornant au cas de Û(^)=?l; mais comme la solution du problème dépend essentiellement de la formation de la fraction ^., et non pas de la forme de
la fonction Q(z)y les résultats de Tillustre auteur s'appliquent aussi au cas général.
La forme, sous laquelle se présentent les formules donnant les maxima et minima de l'intégrale
Q{z]fiz)dz
dans le mémoire de M. Tchébicheff, diffère de celle que nous avons
présenté dans le n^ 13, en ce que la fraction ~|^|, qui figure dans ces
formules, s'exprime en fonction des éléments qui peuvent ôtre immédiatement calculés en décomposant en fraction continue la partie connue
7 ^^^2 ^^' • "^^ gin Il;
ou
du développement de l'intégrale
(fiy)dy
en série.
Dans le cas d'un nombre pair 2n de données, on calcule tous les éléments des formules définitives en calculant les dénominateurs des réduites des rangs n et n— 1, (f^{js) et 9„i(^), dans le développement de l'expression (1) en fraction continue de la forme
aj ir H- &2 -
«« jff -►-&« — .
Dans le cas d'un nombre impair (2n -+- 1) de données on doit calculer encore le coefficient a^^^ dans le développement de l'ex-
pression (2) en fraction continue de la môme forme. Nous allons montrer cûmtneiit les résultats obtenus au n^ 13 peuvent être transformés dans la forme de M. Tchébicheff.
Nous avons vu aux nn^ 10 et 11 du ch. I comment s'expriment les fonctions W^^ (e), U^ {js\ V^ (e) par les nouveaux éléments 9^ (à), 9n—i^^^ ^^ ^n-Hi- ^ s'agit maintenant d'exprimer les fonctions 9(£f) et 4" {^)i daîis 1^8 quatre cas que nous avons à distinguer dans notre probK^me, par les mêmes éléments.
Bans le premier cas, le nombre de données étant impair (fjL H- 1 = 2w-^ 1) et Y^Ê. étant positive ou, d'après la formule (20) du ch> Ij
^ ( yn~i (g) 9n~i (g) \ ^ a — xX 9n(«) yn(^) < **"* ' (0\
1 ( 9n~iW 9n^i(^) \ ^ ^^^
étant positive, la fonction entière <p(^), de degré n-+- 1, est définie par les conditions
On satisfait évidemment à la seconde en faisant 9(^) = 9n^i(^)-»-C>j£r)
C étant une constante arbitraire, c'est à dire
OU, désignant la constante arbitraire C-^b^^^ par A,
9 («) = («n^i ^ -+- ^) în W - 9n-i W-
La condition 9 (a?) = donne ensuite
Donc, dans ee cas
OU, posant pour abréger
Z = a^,iz-x)^?^ (4)
on aura
Partant
— <Pn— i (y) — yy, (^) • -^ -^ <Pn--i W
dy,
en désignant par Y le résultat de la substitution z = y dans Z. La formule précédente peut s'écrire
, q>w— i(y) — 'Pn-i(^).
/•(y) '^"-^";ir-^^^^ ^y
Or, ^^ étant une constante, on a
donc
diaprés la formule (S) du ci. I.
Ainsi, dans notre cas, nous aurons
Diana le second cas, le nombre de données étant le môme, mais h fraction (3) négati^e^ la fonction entière 9 (z) de degré n -4- 2 est définie par les conditions
On satisfaira évidemment à la dernière, de la manière lapins générale, en posant -
Aj B^ G étant des constantes arbitraires; en effet, on peut écrire au lieu de (5)
et sous cette forme, la propriété énoncée de 9 (z) devient évidente. En posant pour abréjjer
on aura
Partant
y — -er
OU, observant que
et
sont des fonctions entières de y de degré 1 et 0,
d'après la formule (8) du ch. I.
Donc, dans ce cas
OÙ
Les constantes A, J?, (7 se déterminent au moyen des équations 9(a) = 0, (p(6) = 0,>(^) = 0.
Substituant £? = a; dans la formule (5) et annulant le résultat^ on aura
a*où
et
— 9n-l(^)(^"*-^• Le3 conditions 9 (a) = 0, 9(6) = 0, donnent ensuite
où
= —1- ryn~iW yn~i(^)l g /g)
Pô— 5-a;L 9nW ^n(«) J ♦^"^^ ^^
Donc
P6 — Pa
♦*-*-! ^ ^ P6 — Po 9n(«)
(ft — a) pQpfe (pfr (& - a;) — Pq (a — a?)) (g)
(?6 — Po)^ * -^ («Pa- ^P6) (P6 — Pa)
Ainsi, dans le cas d'un nombre impair de données ((x-4-1 =2n -h 1), la fraction ^ est donnée par la formule
9(^) 9nW^-9n-i W ^^
OÙ 2 s'exprime par la formule (4) ou par la formule (8), selon que la fraction
1 r 9n-i W 9n-i i^) ! ^ 9a «. o — a;L <PnW 9n(^) J ^-^* (0\
P6 L r ^n^iW __ 9n~i(^n ^ ^^'
b— «L 9n(&) 9n(aJ) J **"*-*
est positive où négative.
Dans le cas d'un nombre pair (fx -h 1 = 2n) de données, la fonction entière (f{z) de degré w-*-l, se détermine, comme nous avons vu, par les conditions
et
c) <p(a) = ou 9(6)==0
selon que la fraction
9nW 9n(o)
(d'après la formule (1 7) du ch. I) est positive où négative, ou ce qui revient au môme, selon que
a — «L 9n(«) 9n(«) J ^ — « L 9nW 9n(«) J
car
9n-i(&) 9n-~i(g) ^A 9nW 9n(a) ^
?^,^^^ étant >0 et ?rf^<0,
9nW 9nW '
comme il suit de ce que dans la fraction continue
tous les nombres c^ sont > 0.
.^wst.Wjt,-*
On satisfaira à la condition a) en posant
A dB étant des constantes.
En les déterminant d'après les conditions
l)ç(ir) = et <i>(a) = 0,
ou
2)(p(a;)=0 et 9(6) =0 on obtient
où
dans le premier cas et
dans le second.
Observant que, pour
Z étant linéaire par rapport à ^, on a aussi
nous pouvons dire que, dans le cas d'un nombre pair (jt -fr- 1 = 2h) de données, la fraction ^, se détermine aussi par la formule
Y étant la plus grande des deux quantités
o — a;L 9n(a) 9n(^) J b - a; L 9ii0) fn(«) J'
Observant encore que les formules (M) et (m) du nMS^ en introduisant la notation des résidus de Cauchy, peuvent être écrites de la manière suivante
ce
^^Jû(^)< A^)û(.)rf.<^^^^;û(^ (il)
(ù désignant une quantité infiniment petite positive, nous pouvons dire que les valeurs limites de l'intégrale
f{0)a{z)dz
û (z) désignant une fonction finie et continue entre les limites « et 6 et assujétie aux restrictions, mentionnées au cmiuneneement de ce chapitre, sont données par les formules (11), où
9W 9mW^— 9n— iW
Oi «-4-5]
ao2 -^- ho — .
la fonction Z ayant Tune des formes (4), (8) et (10) dans les différents cas que présente le problême et
ai* H- 5j—
désignant la fraction continue, arrêtée au quotient incomplet de rang n, que donne le développement de l'expression
18. Qtidgues questions des maxima et minima qui se ramènent à la question précédente.
1) Soit f(y) une fonction inconnue de y, constamment croissante entre les limites et 1, c'est à dire telle que f(if) ne soit jamais négative entre ces limites. Etant données les valeurs
il 1
^=\f(y)àyy s^=\yfiy)dyj s^=ii/'f(ff)dy
et la valeur initiale f{0) de la fonction, on demande de trouver le maximum et minimum de la valeur f(x)^ x étant une quantité donnée entre et !•
(Nous avons supposé les limites des intégrales données égales à et 1 y pour plus de simplicité; or, il est évident qu'on peut ramener le cas général, où les limites sont quelconques^ à ce cas particulier.)
Observons, en premier lieu, qu'à l'aide de l'intégration par parties, les données du problême donnent le moyen de calculer les intégrales Oq , ocj , s^y • • . a^ , en désignant
^i=\y\i—y)riy)d!f.
En effet
Or
Donc, la question revient à la recherche des valeurs limites de l'intégrale
^fiy)dy
les quantités ao , «i , . . . a,x étant données. En posant
(ù iy) restant positive entre les limites et 1, on aura à rechercher les valeurs limites de l'intégrale
les intégrales
rf^Q=\(ù[y)dy, (i^=\yi^{y)dy,. . .(i^=\^(ii{y)dy
étant données.
Cette question est résolue par les formules du vP 13, en y posant
les restrictions imposées sur Q(z) étant évidemment remplies.
Dans le cas de a; = 1, la question est résolue par les inégalités I— IVdun^S.
Pour n = 2n — 1 , l'in^alité I donne
^ étant la n""* réduite dans le développement de
ou de
en fraction continue.
L'inégalité II fait voir ensuite que. le maximum de /*(!) est co, Qjir 0(1) := cxD et 1 est racine de l'équation
La formule III du w^ 8 donnera le minimum de f (1) pour iii= 2n et la formule IV fait voir que le maximum de f (1) est infini.
2) Soit f(y) une fonction inconnue de y constamment décroissante entre les limites et 1 de la variable, c'est à dire telle que f(if) ne soit jamais positive entre ces limites.
Etant données la valeur f{l) et les valeurs des intégrales
<^.k=jr'*'*mày,
m et k désignant deux nombres positifs, on demande le maximum et minimum de f{x), x étant un nombre donné entre et L
Les données du problême donnent, à Taide de rintégration par parties, le moyen de calculer les intégrales
en désignant
En effet
i' ^m-t-A-t-P • • • ^m-f-jjJfe-i-i
m-t-ik-i-i
fiM)^y
Or
= f{\) — {m-+-ik-t-\)A
m-t-ik '
m=f{\)^jriy)dy
et la question se réduit à trouver les valeurs limites de l'intégrale
jf{y)dy,
les quantités œ^^^ , a^^,^, . . . «^^^i.^^ étant données. Posant
/= 1 — u nous aurons
m-*-i-#-iA
mn-i-^-ik n
Goo
Ëa posant
-Ui-uf^' 'r(iï-u)^)=/j{«),
(ti) restant positive entre les limites et 1 de la variable et
déâigûaut encore
on aiira
La même substitution donne
m tij
Observons encore que, connaissant les quantités %f%^> ^ ^^^^ nous pouvons calculer les intégrales
î pour i==0^ 1, 2, . . . iJLj d'après la formule
et la question proposée se réduit à la recherche des valeuis limitas de l'intégrale
(i-ti) *
les quantités ao, a^, . . . a^ étant données, question qu'on sait ré* soudre, observant que la fonction
remplit évidemment les réstrictions nécessaires pour pomoir fiiijiljquer les formules des w^ 8 et 13.
Exemple. Soient données
et /*(!); on demande le maximum et minimum de f{x)y M < .^ < l, On aura ici
(73= /•(!)- 3^3, tJ,= f{\) — hA,
ao=34 — Al), 0L,= %A,— hA,.
Supposons en premier lieu a; = 0. On aura
La formule I du n" 8 donnera
AO)?Ai)H-^;— î-^ ' ^'l^ (1 - ;pj)ï
<>'- -Xi'vi^-^^
oft
Donc
Zy-
