caSj (JL = 2w
Les données sont
%=\fiy)dy, «1= \yf{y)dy,. . ^(i^^=w''fiy)dy
en nombre impair 2w -h 1 .
Il est facile de voir que dans ce cas il n'existe que deux concentrations pour lesquelles le nombre des inconnues est égal à celui des équations de condition, savoir:
1) La concentration dans le point X et dans n autres points, où les inconnues sont la masse du point Z^w^ et les 2n quantités m^, x^ qui déterminent les masses et les distances des n autres points, en tout 2w -H 1 inconnues qu'on trouve en résolvant le système de 2wH-l équations
2) La concentration dans les trois points A^X^B (if=a, y=Xy y = b) et dans n — 1 autres points, où les inconnues sont les masses w^, w^, w^ des points A, Z, B et les 2n — 2 quantités w^, x^ qui déterminent les masses et les distances des autres points qu'on trouve en résolvant le système de 2w-i-l équations
^m^^a^m^^^xJ'm—oL^ (2)
* = 0, 1, 2,. .2n // caSy jt = 2n — 1 .
Les données sont
fmdy=a,, (yf{y)dy=ci„. . jy'''-'ny)dy:
en nombre pair 2n.
Les seules concentrations, où le nombre des inconnues est égal à celui des équations de condition sont ici:
1) La concentration dans les points -4 et Z (y = a, y = x) et dans n — 1 autres points, où les inconnues sont les masses w^, m^ des points A et Z et les 2n— 2 quantités w^, x^ qui déterminent les masses et les distances des autres points, en tout 2n inconnues qu'on trouve en résolvant le système de 2» équations
a*w^-i-a:^w^-*-2^/wï^=a* (3)
Ji; = 0, 1, 2,...(2n— 1).
2) La concentration dans les points Z et JB (y = x, y = b) et dans n— 1 autres points, où les inconnues sont les masses m^ et m^ des points Z et jB et 2n — 2 quantités t»^, prédéterminant les masses et les distances des autres points, en tout 2n inconnues qu'on trouve en résolvant le système de 2n équations
ir*w^-*-6*w^H- 2^<*^<=«* (*)
Pour que ces concentrations soient possibles, il faut et il suJBSit que toutes les quantités x^, vérifiant les systèmes d'équations correspondantes, soient comprises entre les limites a et 6 et que tous les nombres w^, w^, tWfl., w^ soient positifs.
4. Résolution du système (1) et conditions de possibilUé de la première concentration du premier cas.
Soit <f{g) une fonction entière de e de degré n -«- 1, satisfaisant aux conditions
= 0, J/-(y)9(y)^n-i(y)rfy = o («)
qui la déterminent, à un facteur constant prés, au moyen de a^,
Nous savons d'après le théorème (2) généralisé du ch. I que toutes les racines de l'équation
sont réelles, inégales et que de toutes ces racines il n'y a qu'une seule qui puisse tomber en dehors des limites a et b. Désignons ces racines par
En désignant par ù {y) une fonction entière de degré < 2n, on aura par la formule de Lagrange
6 {y) étant une fonction entière de degré <n— 1.
Intégrant entre les limites a et 6, après aYoir multiplié par f{}f)dy^ il vient, en vertu de l'équation (a)
où
m=\fiy)^-^^dy (a')
Posant successivement
on aura le système d'égalités .
qui, comparé avec le système d'équations (1), donne les valeur? suivantes des masses inconnues
Les quantités x^ se déterminent comme racines de l'équation
Il est très facile d'exprimer la fonction (f{z) par les données du problème.
Désignant, comme plus haut, par
respectivement les dénominateurs de la n""* réduite dans les développements en fraction continue des intégrales
on satisfaira évidemment à la condition (a), en posant ^ et ^ étant indépendentes de z.
La condition 9 (a;) = donne ensuite pour le rapport des constantes ^ et J?
Donc, on pourra poser
(,^a)U^(z), (0-6) FJ^) (x-a)U^{x), {x-b)V^(x)
la
Les fonctions U^{^\ V^(z) peuvent être calculées à l'aide des quantités «o? *i? • • • ^2n' ®^^^ ^^'^^ connaisse la fonction f{y)^ comme nous ayons déjà remarqué on n^ 11 ch. L
La fonction ^ {z) peut évidemment s'exprimer par les mêmes quantités, la fonction ç {y) étant connue, comme on voit d'après l'équation de définition (a").
En passant à la recherche des conditions de possibilité de la 1" concentration, c'est à dire des conditions sous lesquelles
1) tous les nombres x^ sont compris entre a et 6,
2) tous les nombres m^., m^ sont positifs,
convenons d'abord, pour plus de simplicité, en introduisant dans nos calculs les dénominateurs des réduites des diverses fractions continues, de faire le coeflScient du terme le plus élevé de ces fonctions égal à l'unité ou à un nombre positif quelconque. En vertu de cette convention, que nous retenons pour tout ce qui suit, ' en nous rappelant que toutes les racines des fonctions
9„(^), Ki'), yM^ WM
sont comprises entre les limites a et 6, nous aurons toujours des résultats positifs en substituant la limite supérieure 6 au lieu de la variable z dans toutes ces fonctions et un résultat de signe ( — l)** en y substituant la limite inférieure a.
Cela posé, on voit que pour satisfaire à la première de deux conditions énoncées ci-dessus, il faut et il suffit que les quantités
(l)n-iç(a) et 9(6)
soient de même signe, car alors la seule racine de 9 {^) qui pouvait tomber en dehors des limites a et 6, tombera nécessairement entre ces deux limites.
Or, d'après la formule I-a
(-ir^'^{a) = {-ir^'{x-a){b-a)VJa)U^{x) 9{h)=={x-b){b-a)U^ib)V^{x).
Donc, observant que pour a < a; < 6
{x-b){b-a)U^{b)<0 {-lf-^\x-a)ib-a)V^{a)<0
on voit que (— l)'*^*9(a) et 9(6) sont de même signe, quand les nombres
U^i^) et V^{x)
sont eux mêmes de môme signe.
Quand à la seconde condition que w^, w^ soient positifs, on voit, d'après le théorème 4 ch. I généralisé, qu'elle est satisfaite par elle même. Donc, Tunique condition de possibilité de la l'^ concentration du I cas consiste en ce que
DJx) et V^ix)
soient des quantités de même signe.
En la supposant satisfaite et désignant les racines de 9 (^), rangées suivant l'ordre de leur grandeur par
nous aurons pour les valeurs de l'intégrale
étendue sur le segment AX, les formules
J/-(y)0(y)Aî^)=2?|-!û(^*)-^?iû(^) (A)
OU
\fiy)Q{y)dy= ^^^Q{=^,) (B)
selon qu'on rapporte le point X au segment AX ou au segment XB de la droite AB.
5. Résolution du système (2) et conditions de possibilité de la seconde concentration du premier cas.
Composons une fonction entière de degré n -»- 2
<fi^)=^A^{z — a){z — b){z — x){z — x,)...{z — x^^)
satisfaisant aux conditions
et
fiy)9iîf)^n-z(y)^y=<i (y)
Pour toute fonction 0(t/) entière de degré 42n on aura, comme précédemment, la formule
Jo(y)/'(y)%=
où
,»(y) — yW,
^(^)=jm'-^
Posant snccessiTement
on obtient un système d'égalités qui, comparé avec le système (2), donne les expressions suivantes des masses
^a— (p'(a)' ^6— <p'(5)' ^o?— (p'(a?)' ^~ VWV
Les quantités x^ se déterminent comme racines de Véquation
(j — a) (;? — b) (;er — a;) '
La fonction (f{z) s'exprime facilement par les données du problêm.e; en effet, posant
q> (js) = (3 — a){B — b)(ù (b)
on aura, pour déterminer la fonction entière 0(0) de degré n, les équations
\m(y-a)ih—y)o(p)û^^(i,)dy = 0.
On satisfaira à la première, en posant
et la seconde donne
Vni^) -Un(xy
Donc, on pourra prendre
.Ib
Toutes les racines de 10(0) sont réelles, inégales et il n'y a qu'une seule de ces racines qui puisse tomber en dehors des limites a et b, ce qui suit du théorème 2 généralisé du ch. I et ce qu'on peut d'ailleurs vérifier directement en ayant égard à la distribution des racines des fonctions U^i^), V^(z) établie par le théorème 7 du ch. I.
Passant à la recherche des conditions de possibilité de la seconde concentration, on voit facilement qu'elles se réduisent aux conditions:
1) que (— l)**o(a) et o(&) soient de môme signe, ce qui entraîne comme conséquence que toutes les quantités x^, x^^y. . -^n— 1 ^ *^^^" vent entre les limites a et 6, et
2) que Jtt^ et ^ soient positifs, toutes les autres quantités !^,, %^, ne pouvant être négatives; en effet, désignant par-a;^ une racine quelconque de « (e) (sans exclure la racine x)^ on aura
et appliquant le théorème 4 généralisé du ch. I, en y remplaçant f(tf) par f(y) {y — a) {h—y\ on voit immédiatement que ^t^J > 0. Remarquant que
{-\f^{a) = {-\f\AVJa)-^BV^{a)\
et que
(- ir F„(a), (- irZ7„(a), U^{h), F„(J)
sont positifs, on voit que la première de deux conditions* énoncées ci dessus, est satisfaite quand A^iB ont le même signe, c'est à dire, quand
TJ^{<^) et FJ^)
sont de signes différents.
Ensuite
—y\y)(b--a)(AUn(a)^BV^(a)) «2^
En ayant égard aux équations
Jm(y-a)UJy)dy = 0, \f{y)(b -y)rjy)dy^O, a a
on réduit l'expression précédente à
OU enfin
A Un (a)
Appliquant le théorème 5 ch. I, on voit immédiatement que
U^{x) et VJx)
^; > 0, quand j^ ^> ^'^^* ^ ^^^® quand
sont de signes différents.
On verra de la même manière que V^A > sous la même con-
dition. Donc, l'unique condition de possibilité de la seconde concentration du I cas consiste en ce que U^(x) et V^{x) soient de signes différents.
Cette condition, comme on voit, est directement opposée à la condition de possibilité de la première concentration. Les valeurs de l^intégrale
{y)f{y)dy
correspondantes à la seconde concentration, sont données par les formules •
^ le
Jo(2,)/-(î^)dî,= û(«) Il -H 2^1o (^.) - ^o(^)- .(C)
ou
« jfc
selon qu'on rapporte le point X au segment uîlX ou au segment JXJ?, et
désignant celles des racines de 9 {z) qui ne surpassent pas x.
6. BésoMian du système (3) et conditions de possibUUé de la première concentration du II cas (jjl = 2w — 1). Composons une fonction entière de degré n h- 1
satisfaisant aux conditions
9(a) = o, 9(^) = o, jm9{y)0n^,(y)dy-=^o....iii)
Posant, comme plus haut
on trouvera, absolument comme dans les cas précédents^ que les masses inconnues du système (3) s'expriment par les formules
et les distances x^ se déterminent comme racines de l'équation
Posant
(p (jg) z=i{js — a) (0 {z)
on aura, pour la détermination de la fonction entière (ù{z) de degré n, les conditions
\f{z){z-a)ii^{z)6^^{à)dz = On sfttisfaira à la première en posant
ff^{e) désignant comme toigours le dénominateur de la vT' réduite dans le développement de l'intégrale
h { f{y)àv .
et W^__^{js) — le dénominateur de la (n— 1)°"® réduite dans le développement de rintégrale
f(y){y-a){b-y)dy
en fraction continue.
L'équation q(x)=zO donne ensuite
(6~a:)TFn i(x)'
en sorte qu'on peut prendre
.Ua
Les fonctions 9„(-^), W^__^{^) peuvent être calculées àTaide des données a^, a^,. > .(t^__i du problème, comme nous avons remarqué aun« 10 du ch. L
Les conditions de possibilité de cette concentration se réduisent, comme il est facile de voir, aux deux suivantes:
1) que (— l)**G)(a) et 0(6) soient de môme signe,
2) que |i^J soit > 0.
La première est satisfaite quand
sont des quantités de même signe, comme on voit d'après l'expression même de o (^).
Ensuite, on a
Observant que
il vient
\f(y)9„{y)dy =
jMg) ^ -BW^^, (a) r ^ . Wn^, (y) .
L'intégrale du second membre étant positive, d'après le théorème 6 du ch. I, et 9^(a) et TF„__i(a) étant de signes contraires, on voit
que le nombre ^. est positif quand J. et 5 où, ce qui revient au même, quand
9j^) et W^^^ix)
sont de même signe.
Ainsi, Tunique condition de possibilité de la première concentration du II cas consiste en ce que
9ni^) et W^__^{x)
soient de même signe.
En désignant par
a<x^<x^<. . .<Xi^<x<x^^^. . .<Xi^^
les racines de Téquation
rangées suivant Tordre de leur grandeur, on aura pour les valeurs de Tintégrale
JQ(y)mdy
correspondantes à cette concentration, les formules
Q(y)mdy = ^J§^Qia)^';^^^Q(x,)^t^^Q(x)..(E)
JQ(lf)mdy = ^^Q{a)-^^^^Qix,) (F)
selon qu'on rapporte le point X au segment AX ou au segment XB.
1. RésoliUion du système (4) et conditions de possibilité de la secofide concentration du II cas.
Considérons une fonction entière de degré n -♦- 1
?W = A(^ — fe)(^ — ^)(^ — ^i).-.(^ — ^n-i) satisfaisant aux conditions
9(6) = 0, ^{x) = (iAf{z)r^{z)O^__^{z)dz = ....(«)
Posant, comme ci dessus
^{^)=\m'-^^dy
on trouve de la môme manière, comme dans les cas précédents, pour les masses w^, w^, m^ les valeurs
^b—y^y ^x—^^(xv ^i—<?'{xiy les distances x^ se déterminent comme racines de l'équation
La fonction cp (^), comme on s'assure aisément par des considérations analogues à celles dont on se serrait en traitant les cas précédents, aura la forme
<p(^) = (^6)(o(^), où
(« - a) Fn—i («) — 9nW
d'où il suit qu'on pourra prendre
..•.Ilb
Les conditions de possibilité de cette concentration sont; 1) que ( — l)**(o(a) et 0(6) — soient de même signe, 2)que^J8oit>0.
La première est satisfaite quand ~ est > 0, c'est à dire, quand sont de signes différents, et ^ous la même condition ~|j| sera > 0,
car
9'ih)
est positive pour 5 > 0, d'après le théorème 6 du ch. L
Ainsi, l'unique condition de possibilité de la seconde concentration du II cas, consiste en ce que les quantités
9n(^) et W^^{x) soient de signes contraires.
Cette condition est directement opposée à la condition de possibilité de la première concentration du môme cas. Les valeurs correspondantes de l'intégrale
f^iy)fiy)dy
sont ici
ou
k Q{y)mdy^^mtQ{x,) (H)
^ lç'(aî,.)
selon qu'on rapporte le point X au segment AX ou au segment XB, x^^ x^y. . .Xj^ désignant celles des racines de (p(;8^) qui ne surpassent pas X.
8. Cas 'particulier du problème: maxima et minima de V intégrale
a(y)f{y)dy.
Ayant de poursuivre la discussion du problême général, arrêtons nous un moment sur le cas particulier où il s'agit de trouver les maxima et minima de l'intégrale
JQ{y)f(y)dy
la limite supérieure étant égale à b, et la fonction Q (y) assujetie à
la seule condition que la dérivée Q^^'*'^^(i/) d'ordre égal au nombre
de données
ne devienne négative entre les limites a et b.
Il est facile de voir que, dans ce cas particulier, la question est complètement résolue par les inégalités I— IV du n® 7 ch, IV.
En effet, considérons par exemple l'inégalité I
pourO<*">(«)>0, a<«<6
et Sj, s^, . . .«„ désignant les racines de <f^iz).
Cette inégalité se changeant en égalité quand O (z) est un polynôme entier de degré < 2n— 1, on aura
\î^mdy=^^^0,', pourft = 0, 1, 2,. . .(2«- 1).
• Tous les coeflScients ^^j étant positifs, ces égalités montrent
que dans le cas d'un nombre pair de données a^, a,, . . . a^^^^, il est possible de concentrer la masse de la droite ÂB dans les n points
La valeur de l'intégrale
Q(y)f{y)dy
correspondante à cette concentration, sera précisément égaie au second membre de l'inégalité I et cette inégalité elle môme montre que cette valeur est le minimum de Tintégrale considérée.
Les mômes considérations étant applicables aux trois autres inégalités du môme nP^ nous pouvons énoncer les résultats suivants:
Désignant toujours par ^ {z) la fonction liée à 9 (z) par la formule
W=^m'-^l^dy,
par Q{z) une fonction quelconque, continue entre les limites a et 6 et telle que
Q^'^'\e)>0, poura<;^<6 et supposant qu'on donne les valeurs
<»'o=\fiy)^y^ ^=\yfiy)dyy" '%=\!^f(!f)dy
fiy) restant positive entre a et 6, on aura pour déterminer les maxîma et minima de l'intégrale
\Q(lf)f(y)dy
les formules suivantes:
a) (JL = 2n— 1
;er,, z^, • • ««n ^^^ ^^ racines de l'équation
^09 ^u ^2»* * *^ti ^^^^ 1^^ racines de l'équation
b)ji=2n
fo(y)mrfy > 2^0(^.) III
J ft=0
^oj ^n ^3>' . -^n ^*^* 1®^ racines de Téquation
^1, ^2>* • -^ti-^i é^^^* ^®s racines de l'équation 9(^) = (^-6)F„(^) = 0.
9. Les quatres inégalités précédentes, en y posant 0(y) = j^'**\ donnent le moyen d'assigner les limites entre lesquelles on peut 4^hoisir arbitrairement dans les exemples numériques la yaleur de
— lU — ayant d^'à choisi conTenablement les quantités
Supposons par exemple qu'on veuille trouver les limites entre lesquelles on puisse prendre arbitrairement la valeur de
ayant déjà fixé convenablement les valeurs de Aq) ^n ^*
Bemarquons en premier lieu qu'ayant pris pour a^ une quantité positive quelconque^ on aura pour la limitation de a, les inégalités évidentes
h ^=^\yf(y)dy^h(x,Q et a^>aa^.
Ayant fixé les valeurs de a^^ et a^ on aura pour la limitation de a, y en faisant usage des inégalités I et II, en y posant
les formules suivantes:
D'après la formule I
et
c'est à dire
d'où il Tient
lift formule U donne d'autre part
où
ç(») = (^r — a)(« — t), <p'(«) = 2« — o — h «J»(«) = [;e(a-»- 6)]ao-*- a, d'où il Tient
Oj < (a H- J) «j — aJo^
Ayant choisi les valeurs de a^, a^^ a^^ on applique les formules III et lY pour limiter la valeur de ag, en y posant
On aura d'après la formule III
où
9(£f) = (« — a) (« — «,) f{z) {m — a){z — s^) de = 0,
ce qui donne
Og — (a -f- z^ 04-*- a(i^By=
d'où il vient
^ = «2— 2aa|-i- a«ao ^^ (a,— 2a aj-H a^aj («j— oo,,)
oUy en réduisant
«« = aj— aoio
La formule lY donne d'autre part
10. Revenant à la discussion du problème général, nous allons démontrer que si la fonction O (^), ainsi que ses dérivées Q'iy), 0'^(y),. . .0^**^'^(y) ne deviennent jamais négatives entre les limites a et 6 de la variable, les valeurs de l'intégrale
fournies par les formules (^)— (iEO des nn^ 4 — 7, sont les valeurs maxima et minima de cette intégrale.
Nous allons nous appuyer dans cette démonstration sur un théorème algébrique très simple, donné par M. Markoff dans l'ouvrage cité plus haut.
Théorème. Q{gi) étant une fonction quelconque de e, continue entre les limites a et 6, (6 > a), assujetie seulement aux conditions
pour a < xr < 6, 0(j?) — un polynôme entier de degré m et c— une quantité quelconque, située entre a et b^ le nombre de racines de Téquation
comprises entre les limites a et c, augmenté du nombre de racines de l'équation
comprises entre c et &, ne peut surpasser le nombre m-^l.
Démonstration.
Soient x^^ x^,. . .x^ les racines de l'équation
0{z) = Q{jsf)
situées dans rintervalle a—c et rangées suivant Tordre de grandeurs croissantes
a<x^<x^...<x^<c; soient aussi
les racines de l'équation
situées dans l'intervalle c—b et rangées aussi suivant l'ordre de grandeurs croissantes
Il s'agit de démontrer que ^ '
Observons dans ce but que dans nos suppositions l'équation
aura l— 1 racines entre x^ et x^y que nous désignerons par
et l'équation fc— 1 racines
entre x^^^ et a?^^. Dans le cas où Q'(z) est constamment égale à zéro dans rintervalle a — 5, le théorème est érident, car on aura dans ce cas 2 -h k — 2 racines de l'équation
de degré m — 1, donc
l-^k — 2<m — 1 ou Z-4-fc^tttH^l.
Dans le cas général où û'(-8f)>0, il est facile de Toir que Téquation
aura encore une racine entre x\^^ et x^^^.
En effet, x\^ étant racine de l'équation
on a
Si on supposait que â>'(^) reste > pour toutes les valeurs de a entre Xj^^ et x^^, 0{z) serait toujours croissante dans cet interyalle, ce qui est impossible, car
0iXi^,) = O, et x\__^<x^<x^^.
Donc, 0'{js) doit changer de signe dans cet intervalle et l'équation
aura au moins une racine xf^^^ entre x\j:^ et x^^^. D est ainsi 'démontré que l'équation
anra m moins h racines
entre x'^^^ et a?^j. D'après cela l'équation
aura l — 2 racines
entre a?/ et x\^ et l'équation
* — 1 racines
entre fl/^^i et x'^^j^.
Dans le cas où Q"(js) est constamment nulle entre a et &, le théorème est démontré, car alors l'équation
de degré m — 2, aura en tout l-i-k — 3 racines, donc
/-Hfc — 3^w — 2 ou Z-l-fc<W-Hl.
Dans le cas général, où O"(^)>0, on Terra absolument comme ci dessus que l'équation â^'(0) = O aura encore une racine enti-e af\__^ et Xj^^j c'est à dire en tout h racines entre (xf\^ et x^^. En poursuivant le même raisonnement, on trouve que dans le cas général l'équation
de degré m h- 1 — î, aura au moins k racines, donc
fc^m-Hl — l ou Z-4-fc<w-i-l c. q.f.d.
11. n est facile maintenant, en appliquant t;onvenablement ce théorème, de démontrer que les valeurs de l'intégrale
\Q(y)mdy
correspondantes aux diverses concentrations, que nous avons considérées aux nn^ 4—7, sont les valeurs maxima et minima de cette intégrale.
I €08, fx = 2n.
a) 1" concentration
fo(y)f(y)dy = 2^Û(^,)H-^;0(tr) (A)
ou
\Q(y)mdy = %'^^Qix,) .(B)
étant les racines de Téquation
où (f{a) est une fonction entière de degré n-*- 1, définie par les équations
jf{y)9{y)^n^Ay)dy = o («)
9(a;) = 0, et
Le second membre de la formule {A) peut être représenté sous la forme
m^Mde
où
OÙ encore, en vertu de l'équation (a), sous la forme plus générale
où
On voit diaprés la forme môme de la fonction 0^{z) qu'elle est une fonction entière de degré 2w, que jTi, o^g,. . .a;^, a; sont racines de Téquation
et a?j^^i, ^t^^y* • .^^ racines de Péquation
Or, on peut disposer de la fonction entière arbitraire ^^i(^) de degré n — 1, de manière à vérifier les n conditions suivantes:
(P/(:r,) = 0>,), i=l,2,...& 0^\x^) = Oy i = fc-4- 1, fc-i-2,, ..n.
En effet, ayant
^w M\ Y^mv i^Aur MUsfAiro à ces conditions,
1 é t^\it.;^^.< 4'iuli^T|y>Utù>u àt Iastu^ donnai masàk Tex- 4^ c =iî^r«
m 'iv<*k iV^ ît ' N ♦Il ; \v^ ..K • u
:Tnïk msssLT
%fc\ *w^V ï> ^. N^* t>v
<: :l.' (^ ctC
car
dans les intervalles respectifs de a à o; et de a? à &, sont déjà énume* rées. La seule racine simple de (P^ {z) = O (0) est z = a;; pour les valeurs de z entre % et 0?^^^, la différence
(Pj(^)0(i8r) est <0,
donc, pour les valeurs de z moindres que a?,
^^{z)—Ç^{z) est >0
et ne change piig de signe dans tout l'intervalle entre a et x^ toutes les autres racines étant doubles.
(^1 («), étant positive pour x < z<^x^^^^ reste positive dans tout l'intervalle de a; à 6.
Ainsi, on voit que
^i(^) = Û(;3f), poura<;8r<a?
^1 W = 0, pour 0? <-er < 6.
n suit de ce qui précède que
\a(z)f{z)àz <[^,{z)f{z)dz A^^{z)f{z)àz.
C'est à dire
|û(.)A.)rf. < 2f^Sû(^,)-H||;0(a;) (A')
d'où il suit que la valeur (-4) correspondante à la 1" concentration est le maximum de notre intégrale.
Passant à la considération de la formule {B\ m voit d'abord que le second membre de cette formule peut être représenté par l'intégrale
où
0q(2) étant donné ici par la formule
Les quantités x^^ x^j^-^Xj^ sont racines de l'équation 0,i,) = Q{z) et Xj Xj^^^, Xj^^^ . . ,3?^— racines de l'équation
On pourra, comme dans le cas précédent, déterminer 0^^{z) de manière que a?,, ajg,. . .a;^^ deviennent racines doubles de la première de ces équations eta?^^p a;^^, . . .a;^— racines doubles de la seconde.
La quantité x sera racine simple de l'équation
En vertu du théorème du n^ précédent, nous concluons que la différence
ne changera point de signe dans l'intervalle entre a et a; et comme
<Pa(a;) — 0(aj) = — O(a?)<0,
0^{z)—Q{z) restera négative pour toutes les valeurs de centre a et a?.
Digitieed by VjOOQIC
D'autre part, ^^ig) étant positiye pour x^<i2 <.x, cm
<Pa(a?») = O(a'»)>0 «t changeant de signe quand e passe par la valeur x, on aura
^9(^X0, pour x<iz<b.
Donc
d>j(£f)<0(jer), pour a<js<,x
^a(^) = Oj pour « < i8f < 6.
D'où il suit que *
{mQiz)dz>U,ie)mdz>U,ie)mdg.
c'est à dire
ce qui fait voir que la valeur (B) correspondante à la première concentration, quand on rapporte le point X au segment XB, est le minimum de notre intégrale.
Le maximum et le minimum fournis par les formules (-4) et (B) correspondent, comme la première concentration elle même, au cas où
U,ix) et rjx)
sont de même signe.
12. Des considérations entièrement analogues aux précédentes s^appliquent à la discussion de la seconde concentration du V cas et des deux concentrations du second (|jL=2n — 1) et nous pouvons les exposer succintement, sans entrer dans tous les détails.
I c«, ji. = 2n.
b) Seconde concentration
•Jo(.)A^)rf^ = |t)Û(«)H-i;|^)Û(a=,)H.i|;0(:r)..(C)
a OU
a<a!,<a;2.- •<a'»<«<«*-H,<- • •<«»,<& étant les racines de l'équation
où 9 (e) est une fonction entière de degré n-*- 2, définie par les conditions
fm9(^)^n-^i^)^^ = <>'^^-
Composons un polynôme entier <Pj (;e;) de degré 2n, d'après la formule
où
et déterminons la fonction (>n^^{^) d'après les n — 1 conditions 0^'{x.) = Q\x.), pour t= 1, 2,...k 0^\x.) = 0, pour i = A; H- 1 , ft -H 2, • . . (n — 1 ).
La quantité x est racine simple de Téquation
Cette équation aura les racines simples a et â? et & racines doubles entre a et x. L'équation
aura la racine simple & et n — 1 —k racines doubles entre x et b. Observant que pour x<0< Xj^^^
ou trouve, à l'aide du théorème du n^ 10, que
(Pi(jer)>0(£j), pour a<z<Cx et
^i(^)=0, pour x<iis<b.
D'où il vient
Or
Donc
ee qui montre que la valeur (C) est le maximum de notre intégrale.
¥\vrwM\t «n wcoud Iwu uu polynôme 0,{£) de dégié 2ii, d'après UtWrwttW
#^ .: ^ C ^ >'ur r ^^r^.*
;^ ;>^ : xi.: ^^x
JT cew, p. = 2n — 1 a) 1 concentration
a OU
fc
0(^)A^)rf^ = ||j0(a)-^2?i"(^') ^^)
a<a;i<aj,<. . .<a;j<aj<fl5j^i . . .<«,
étant les racines de la fonction entière <p(«) de degré n-t- 1, définie par les conditions
9(a) = 0, tp(a!)==0
fW9(^)<?„.(^)'*^ = (7)
Formons un polynôme O^ («) de degré 2» — 1 d'après la formule
<Pi W = <2>o C-^) -*- 9 («) <?„-,(«).
où
La quantité rr; est racine simple de l'équation
et l'on peut détenniner 0^J^z) de sorte que x^^x^^. . .x^ soient racines doubles de la môme équation et a?^^p x^^^^. . .x^^ racines doubles de l'équation
On verra facilement, comme ci dessus, que
01 (-er) ^ Û (j?), pour fl<^<a5 ^iWS^j pour a;<,3<6
ce qui eûtraîne comme conséquence que la valeur (£) est le maximum
de notre intégrale.
En formant un polynôme îPg(^) de degré 2fi— 1, d'après la formule
qui diSfere de 0^{z) en ce que x est racine de Téquation
au lieu d'être racine de Téquation
nous verrons, eomme ci-dessus, que
0j(^)<O(^), pour a<0<ar , ^a(^)^Oj pour x<^<b
ce qui entraîne comme conséquence que la valeur (F) est le minimtm% de notre intégrale.
Le maximum et le minimum trouvés correspondent au cas où
sont de même signe*
n cas, jt = 2n — 1 .
b) 2 concentration
a OU
JQi^)md. = ^^^^Qix,)-^^^Qix) (G)
JQiz)f{z)dz = ^±MQiXt) (H)
étant les racines de la fonction entière (p(«) de degré n-t- 1, définie par les conditions
9(6) = 0, <f{x) = et
En formant un polynôme de degré 2n — 1
et déterminant ^„2('^) ^^ manière que a?!, aîg, . . .a?^ soient racines doubles de l'équation
et a?^fc-#.i, ^jH-2'* • '^n—i racines doubles de Téquation
on verra facilement que
(Pi(^)>û(^), pour a<,a<,x <Pi(^)^0, pour ir<^<&
ce qui entraîne comme conaéquauce riaégalité
« ifc
Formuit ensuite un second polynôme de degré 2t>— 1
où 0^^{s) fie détermine d'après lea mêmes conditions que ci-dessus, m trouve
<Pa(if)^0(^), pour a<iz<Cx
<Pa{^)=0, pour œ<Cjs<Cb
d'où il vient
^ ft
Les inégalités ((/) et (ff) montrent que les valeurs (G) et (S) sont respectivement le maximum et le minimum de Tint^rale
m correspondants au cas, où
Ç„(^) et W^^,{x)
sont de signes contraires.
13, En résumant les résultats acquis, nous pouvons énoncer la solution du problème proposé en termes suivants;
Soit f(8) une fonction inconnue qui reste positive entre les limites a et h\ soient données les valeurs des intégrales
\f{z)d0 = (i^, Uf(z)dz = QL^,..As^f{z)d0=
On demande les valeurs limites (le maximum et le minimum) de l'intégrale
Q(z)f{z)da
X étant un nombre donné, intermédiaire entre a et & et Û (z) une fonction donnée, continue entre les limites de l'intégration et agsujetie aux conditions
pour toutes les valeurs de z entre les mêmes limites.
Les valeurs limites de l'intégrale proposée sont fournies dans tous les cas par les formules
« jfc Jû(.)mrf.<2|^û(a;^-|^jO(^) (M)
OÙ ^ (z) se détermine par la formule
w=^m'-^^l^dz,
sii,<Ci,...x^ désignent celles des ra^es de l'équation
qai ne surpassent pas le nombre donné x et la fonction ^(e) se détermine de différentes manières dans les différents cas da problême, savoir:
1) Dans le premier cas, le nombre des données étant impair (|t -H 1 = 2n H- 1), la fonction 9 (e) est donnée par la formule
ix-a)U„(x), {x-b)V„ix)
.la
qui représente un polynOme entier de degré n -1- 1 , vérifiant les
équations
>) = 0, miM^)0„M)<i^ = ^ («)
ou par la formule
.Ib
qui représente un polynOme entier de degré n -h 2, yérifiaot les équations
9(a) = 0, 9(*) = 0, 9(aî) = 0,
m9{^)^n-ti^)àz = 0.
selon que les nombres Î7^(aî), V^{x) sont de môme signe ou de signes différents. Les fonctions U^{z) et V^{is) désignent ici respectivement les dénominateurs des n"*** réduites dans les développements des intégrales
Ç f(îf)iM-a)dy ^^ r/(y)(6-
— y)dy
en fraction continue de la forme
Cl » -#- di ■
a^ oj -4- bj — ,
les constantes c^, c^, . . .c^^^ étant positives.
2) Dans le second cas, le nombre de données étant pair (ii.h-1= 2«), la fonction (p{z) est donnée par la formule
Jla
qui représente un polynOme entier de degré n h- 1 , yérifiant les équations
OU par la formule
(fie) = ie — h)
9», ix-a)W^Uœ)
.Ilb
qui représente un polynôme entier de degré « -♦- 1 , vérifiant les équations
9(6) = 0, 9 (a;) selon que les nombres
9„(a') et W„,(x)
sont de même signe ou de signes différents.
Les fonctions
?J^) et W,^,{z)
déBÎgnent ici respectivement les dénominateurs des réduites du rang* n et n — 1 dans les déYeloppements des int%rales
en fraction continue de la môme fonne que dans le cas précédent,
14, La seule inspection des formules la, I b, II a, II b permet d'afiirmer que les racines de Téquation
se succèdent alternatiTement avec les racines les équations qu'on obtient en annulant les éléments de la première ligne des déterminants correspondants, c'est à dire que deux racines consécutives de réquation obtenue par cette voie comprennent une et une seule racine de Yéquation
En effetj prenons par exemple la formule I a
Désignant les racines de l'équation et les racines de l'équation
|to
fftT
nous savons, d'après le théorème 7 du ch, I, que les racines de ces deux équations se succèdent alternativement, c'est à dire qu'on a
Ço< \< Çl< '^2< ^2 • • • < "^n^ ^n< '^n-*'!'
La fonction 9 {0) étant de la forme on a, en posant ^ = Ç^, ;8r = Ç^.^^
d'où
9(^--f.i) <ï>(Ct-+-i)
Or(P(Ç^ et ^(Ç,.4.i) étant de signes différents, il en sera de même pour les quantités 9(Ç^), ç(Ç^^i). Donc l'équation
aura au moins une racine entre Ç^ et Ç^.^j et comme la même chose à lieu pour deux racines consécutives quelconques de F(b\ on voit qu'il n'y a qu'une seule racine de 9(^), comprise entre Ç^ et t,.^^.
On prouve de la môme manière que les racines de <f(z) se succèdent alternativement avec les racines de 0{£i).
15. Dans les applications des résultats généraux ànn^ 1 3 à des exemples particuliers il est préférable de faire usage des équations (a), (p), (y), (8) et des considérations sur la distribution des racines des équations correspondantes, au lieu d'appliquer directement les formules générales la — Ilb pour la formation de la fonction f{^).
Exemple 1 . Soient données
^=\f(y)dyy (^=\yf{y)dyy a^=ly^f(t/)dtj
Googl
On demande les valeurs limites de Tiiitégrale
X étant un nombre donné entre et 6,
Cet exemple se rapporte au premier cas, le nombre de données étant impair et n :^ 1 j a ;= 0.
Posant
on aura, diaprés la définition de ces fonctions
on
D'après le tliéorème 7 ch. I sur la distribution des racines des
équations
on aura
ce qu'on peut d'ailleurs vérifier directement. Donc Uj^ (.t) et F| (x) sont de même signe quand
et de signes diflférents quand
Sans les cas I) et 2) on a, pour âéterminer la fonction f(g), la formule la
xU.ix), {x—h)r,{x) ou, ce qui est plus simple, en posant
la formule
e*ést à dire
d'ofi il vient
f{z){g — x) iz — w,)ik=0 , , . , .(et)
Og — (X "H œ^)OL^-ê-XXi O^:^
i^x — ag
n^ — (ii
D'après la remarque sur la distributioii des racines de l'équation <f{s) =: Oj nous aurons dans le 1) cas
o<*<fe!<?<^^<&
et dans le 2)
o<».<fef^<^<.^<^-
Diaprés cela, on aura, par les formules (M) et (m) du «** 1 3 , 1) Pour ^<. )^^'Z^^ , ^1 étant >it;
uo —
2) Pour a: > ^, a;, étant < x
oii
fi
Donc
iî>(:
^ (gi) ^ iJ^) __ Ka; — at)^
ce qui donne
ttg
S)pouriï>^
Oo^'
ïï^4''''""='
Dans le 3) cas, quand
ba^— «1 ^ cil
on aura, diaprés la formule Ib^
9 (;Sf) = £f (j^ — X) (b 6)
et d'après les formules (M) et {m)
H^) =\ fkn) 9 fe* — 6) £iy -= «a— &«,
+ (0) = f ^)(y — »)(y — *)% = «a— (^ ■+- »)«!-»- ^ïWo
^'(o)^bsB, <p'(a;) =:»(« — 6), Donc
on aura
Désignant par
la masse de la droite OC de longueur b, par
la distance de son centre de gravité du point 0,
et
par
1t=\{3—dff{z)dz le moment d'inertie par rapport au centre de gravité, qoos aurons
et les formules précédentes donnent pour les valeurs limites de la masse d'un segment donné de la droite les résultats suivants:
l)poura;<d-^j5^
2)poura;>rf-i-^
(Voir Tchébicheff Sur les yaleurs limites des intégrales- Jour, de math. 1874).
Exemple 2. Soient données
<to=\f(y)^y7 'h=\yf(y)^> <^a=\y-fQ/)<it/,
^=Wfiy)dy.
On demande les valeurs limites de
fiy)dy.
Cet exemple se rapporte au second cas,
Commençons à calculer 92 (-8^), W^{z).
Posant
on a par définition
[f{z){z—z,){z — z^)dz = 0,Um^^
ou
— Ui —
Posant
TF|(#) = ^ — Cl,
an a
f(z)iz — aUz-h){s-%,)dz=:0,
d'où
«1 — (a -*- 1) Oj-H afta,
Oj — (a -•- 6) àj-*- alf>Q
D'apréB le théorème 8 du ch. I, nous aurons o<«i<C<«,<6.
Les quantités 9j{a;) et W^ix) sont de môme signe quand 1) a<3i<ir<Ç,<ffj<6 ou 2) a <?i<?;i<«j<!C<6 et de sipes contraires quand 8) a < a; < e^K %,< «,< 6 ou 4) a < ^^< ^<x< n^< 6.
Dana les cas 1) et 2), la fonction 7(2) est donnée par la formule
<p,(a!), {ï-ô)îr,(a;) Mais il est plus simple de poser
9(«) = (* — o)(«— a;){« — aîO» et de déterminer la racine x^ par l'équation de condition (y) tf \m (« - a) (« — X) {» — ^,) d« = 0,
ou
ce qui donne
ttg — (a -+- x) 02 -H ««aj
D'après la remarque sur la distribution des racines deréqnntioii ç(^) = 0, nous savons que Tintervalle entre les deux racines (^ij^j) de 92(^2?) comprend une et une seule racine de cp(z| et que la même chose à lieu pour l'intervalle entre les deux racines (bj- b\ de la fonction (z — 6) W^ (^). Donc, dans le 1) cas, on aura
1) a<i8ri<a5<Çj<^2<^ir.<&, par conséquent .'^>,/
et dans le 2)
2)a<e^<x^<^^<z^<x<b, „ „ tr^a.
Cela posé, les formules (M) et (m) donnent
fc)^ s.*M
pour»,<a:<Ç,
pour g^<i x<h
lu
où ^ (^) B6 détermine par la formule x
qui donne
^ (aïj) = ttg — (a -^ x) tjL^-%- axoL^
et x^ est donné par la formule (t^).
En substituant dans les formules précédentes^ on ftura
l)pour ^,<j:<ï,
2) pour J2<i^ <i
Jft.)&gs- --i°-;;i-i-;:,'
Dans les cas 3) et 4) la fonction 9(0) est donnée |i»r la formule
avec l'équation de condition
f(z){z — h){z — x){z — x^)dz = U,
«3 — (b -+- x) Oj-*- hxoLi
qui donne
*^^ 0.2 — [h -+- x) aj-i- hxot^ *
On voit, comme ci-dessus, que dans le cas 3) a < rr < £fj< Çi< a;i< ^2< 6, par conséquent x^> x et dans le 4)
Donc,
pour a < a; < ;8?i
et
pourÇ,<x<^,
n»)=jm'^^Ep^^dt,
^ (6) = «j— (.r -t- X,) «1-1- a!nr,ao <Ii (ar) = a,— (6 -t- a;,) a, -*- Ja?,ao iji (a;,)= otj — (6 -I- ar) ftjH- feaatp
et ii'i est donné par la formule (vi).
En substituant dans les formules précédentes, il vient
3) pour a < a; < »,
4) pour Ç^<x<j^g
(^^^ fc) (^^ ^) =j r t^) ^^ ^ '^i — (t - ^) (î* - «i
En substituant dans les formules correspondantes les valeurs de rcj , données par les formules (q) et (t)), on a définitivement les résultats suivants:
1) Pour
^1 étant la plus petite racine de Téquation 1« minimum de
r(^)rf«
est égal à
{x — a) [a* (a^a; — aj) — 2a {a^x — a,) -#- «j»— Og] '
le maximum de la même intégrale est égal à
(tt2-(a^g)tt|H-aa»o)a ^
2) Pour i3^<,x<.b, ^2 étant la plus grande raciu^^ île fÂ-)* le minimum de Tintégrale
est égal à
(tto«2— «1^ «^— («o«t— «i<^2) g ■*- (gjtts"- «2^)
(» — a) [aj* («1— aoo) — 2aj («g— a^a) -♦- «j— o^a f
et le maximum est a^.
3) Pour a<a;<^i le minimum est 0, et le maximum oatijgalà
(«0«2- « if ^- («0«»- «1«») ^ -*- (Q^i«8- 0^2^) .
(6 — a;) [«* (boo— «i) — 2aî (6ai— a^) -h ftaj— aj]
4) Pour ^z-ffl-*-^^-^^* <x<js.h minimum do
est égal à
(a2— (5-t-a;)tt|-HftxgQ)^ ^ ^
[^«0*— «i)— 26(ai«— «2)^2*— «al [«^^oio— «iH2«(&«i— «aH^&ct^ - «si
et le maximum à
(gQtta— «i^) a?^— («Qttu— «i«2) g -^ «i gg— «2^ (6 — X) P)2 (ai— o^a?) — 2b (a,— ai«) -♦- «g— «2^) '
Exemple 3.
Etant données
on demande le maximum et le minimum de l'intégrale
jf(y)dy.
Il est évident que, pour & = oo, on aura V^(z) = <f^{z), car réquation
se réduit dauB ce cas à
mV„{z)O^^{0)dz=:O
qui sert du définition à la fonction <p„(«).
Âr[)li(iLiEint les formules générales à notre exemple, nous aurons ] ) pour U^{x) et 9j(a;) de même signe
