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pour # = 0, 1, 2,...n, ce qui se réduit aux équations

Îre LC, Pz (x) — Q (x)] x (x) dx = 0,

en vertu de la formule (12).

On en déduit

[7 (@) (@) gr (@) dx C,= SE ———— JS (&) x? (@) dx

et le polynôme cherché est

bn [1 (x) Q (x) gx (æ) dx D, (x) — N —————— p, (x)... …..... (21)

nr

k=0 [f(x) ex (dx

Cette expression du polynôme d’interpolation par la méthode des moindres carrés à été donnée par M. Tehébicheif. (Voir Jour-

nal de Liouville, T. III, 2”° série).

2, Losqu’une fonction Q{x) est développable en série infinie de la

forme Q()= Go) rC'o.(t)r.. Co, (x)... (t)

uniformement convergente pour toutes les valeurs de x entre les limites a et b, le coefficient C, du terme général aura la valeur

[rc %) Pn (t) dx Re te (2) [F(&) on? (x) dz En effet, multipliant par f(x) ©, (x)dx et intégrant entre les limites & et b, la série (1) donne, en vertu de l’équation (12)

b b [ f(x) Q{x)o, (x) dx = C.. Î f(x) p,? (x) dx.

La somme de (1) premiers termes de la série (1) est précise- |

ment le polynôme ®,(x) qui donne, par rapport à tous les autres polynômes de même dégré, la moindre valeur possible à l’mtégrale

b y fre [Q (x) — D, @)F dx PR NT D (3)

et représente ainsi le polynôme de dégré n le plus rapproché de la fonction Q{x), pour les valeurs de x situées entre a et b, si l’on convient de prendre pour mesure de l’approximation la valeur de l’intégrale (3).

Nous n’avons pas jusqu’à présent de moyens pour assigner, en général, les limites de l’erreur qu’on commet en remplaçant la valeur de la fonction Q(x) par la valeur du polynôme ®, (x), c’est à dire en arrétant la série (1) à un terme déterminé et négligeant la somme de tous les termes suivants.

Mais il est trés remarquable *), qu'on peut donner l’expression précise du terme complémentaire de la série qu’on obtient pour la représentation de l'intégrale

Jr GO, (H}Q er) des us rise (4)

en multipliant entre elles deux séries de la forme (1) qui représentent les fonctions Q,(x), Q,(x) et intégrant le produit f(x) Q,(x) Q,(x) entre les limites a et 0. |

Les propriétés de ce terme complémentaire donnent le moyen d’assigner la limite supérieure de la valeur numérique des coefficients de la série (1) et de juger aimsi du dégré d’exactitude avec lequel cette série, arrétée à un terme déterminé, donne la valeur de la fonction Q{x). — La forme de la série, représentant l'intégrale (4), s’obtient en prenant pour point de départ les séries

Q (x) = 4,9,(2) + À, p, (x) +... 4 0 CA 2 Q, (0) = 2B, pt) + B, o, (6) +... + Bo, (2).

*) Comme l’a montré M. Tchébicheff (Communic. de la soc. math. de Char-

kow 1883 et Mémoires de l’Acad. de St.-Pétersbourg (en russe) 1883. T. XLVII).

RS) où de [7 (@) Q, (2) 9 (x) dx À,="— [7 (&) or? (@) dæ b [7 (œ) @, (0) ox (x) de B,—- b JF (e) ox? (æ) de

En multipliant ces deux séries et intégrant ensuite le produit f(x)Q,(x)Q,(x), on aura pour le développement de

Je (&) 0, (x) 0, (&) dx

une série, composée de termes de la forme

ff (&) Q, (&) Pm (&) da . [F@ Q, (x) on (

ee front [F(&) pan? (&) de J#( f (&) Pn? (&) dx

où », n réçoivent toutes les valeurs entières de 0 à co. Or

b [r (x)®,, (x) p, (x) dx = 0

pour ner donc on aura le développement de la forme suivante

b 100] 0) A (6) om (9) 4. f J (a) Q (2) Om (e) da jromwauaS PHASE m=0 [to @n (2) de

ge on AP re PA SE TE ART PE MR FSI SR SR SES NT

Il s’agit maintenant de trouver l’expression du terme complémentaire À, de cette série, arrêtée au terme qui correspond à m —n— Î].

- Nous allons reproduire ici l’analyse, que nous avons commu-

niquée dans une note, insérée dans le Bulletin de MM. Darboux et Hôuel 1883.

Soient