Chapitre II
Formule d'interpolation par la méthode des moindres carrés. Représentation approchée des intégrales définies au moyen d’autres, prises entre les mêmes limites.
1, Nous allons indiquer maintenant quelques applications immédiates des formules générales.
La formule b
Jron Pr (9) PA) dy = 0, mEn......... (12)
permet de résoudre immédiatement les deux questions suivantes: 1) Parmi tous les polynomes entiers de dégré », de la forme
D(x)=L'+ pa pa +... +p,t2+D, trouver celui, pour lequel l'intégrale
Je (x) f (x) dx
f(x) étant positive entre les limites d'intégration, ait la moindre valeur possible.
SO
Solution. Soient (x), p(x),... ©,(x) les dénominateurs des réduites successives de la fraction continue qui provient du développement de l'intégrale
b | f @) dy a T — C 2. LS MÉRSERE = (42 Qo— 248" TE ps Nous pouvons disposer des constantes c,, &,... de la sorte que
les coefficients des termes le plus élévés dans les fonctions p,(x) soient égaux à 1. Le polynôme inconnu pourra être écrit sous la forme
À,, 4,,... À, étant des constantes.
Les équations de condition du minimum de l’intégrale considerée sont
D | D°(a) le) dx = 0, no (4) c’est à dire b [ocre trees 0 ÉD LD
En mettant pour (x) son expression, rangée suivant les fonctions o,(x), on aura, en vertu de la formule (12)
A; Je (x) f(x) dx = 0 œ ou A0 pou = 0er Cl);
TL DRE Done le polynôme cherché est D (x) = ?, (&).
La valeur minimum de l’intégrale
feras
est égale à
Jo CC ric re
2) Parmi tous les polynômes entiers ®,(x) de dégré n, trouver celui, pour lequel l’intégrale
| fo [®, (&) — 2 (&)Pdr,
Q{(x) étant une fonction quelconque donnée et f(x) restant positive entre les limites d'intégration, ait la moindre valeur possible. Solution. Le polynôme cherché peut être représenté sous la forme
B,(@) = GP) + Go) +... + Cp, (x), Ci; C,... C, désignant des constantes et o,(x), o.(x),... o,(x) étant les mêmes fonctions que dans la question précédente. |
Les équations de condition du minimum de l’intégrale proposée donnent
b Jr (x)[D, (x) — Q (x)] 9, (x) dr = 0
