TRE

Donc, lexpression (14) de R, prend définitivement la forme b ; / L [o?n (@) f(x) dx Le | R= 9° 00," (n)........(15) a.

6 et n désignant deux nombres compris entre a et b. Cette expression de À, met en évidence les deux propriétés que suivent:

1) La valeur numérique de À, ne surpasse pas le nombre

re :

Len? &)f(x)dx 24

dt'En 2 2 EE |

MW, et MT, étant les plus grandes valeurs absolues des dérivées

pour les valeurs de æ comprises entre a et D.

2) Si les dérivées . 2 : ne changent pas de signe entre a et b,

R,, aura le même signe que le produit

d'u: - dy dan ‘ dan 4, En faisant u— Q(x), v — o (&) dans la formule (9), on aura

| f(x) Q (x), (0) de = R

donc en vertu des propriétés de R,,, on pourra dire, que la valeur nu- : mérique du coefficient | 5: 0

b [7 @) © (a) on (e) de C Re US Re MARS FU

b Î (0) on? (e) de

dans le développement de Q(x)

EC El CRE EC pue (te

ne surpasse pas le nombre FN tm Ar

DL, étant la plus grande valeur absolue de Q"(x) entre les limites a et b et À, le coefficient de «” dans l’expression de o,(x) et si Q(x) ne change pas de signe entre ces limites, son signe sera aussi celui de C,. | En faisant n — 1, f(æ) = 1, a—=0, b—]1, dans la formule

(9), on aura 1 1 1

uvdx = [us | vdx + R, 0 0

où

| 11 =; | | (us — U1) (V,— 01) dX: dx,

d’où découle immédiatement le théorème suivant de M. Techébicheff, démontre d’une manière très élégante par M. Korkine dans les Comptes rendus T, XCVI: |

Si les fonctions w et v sont simultanément croissantes ou décroissantes entre les limites O et 1 de la variable, on aura

1 Eure

Joue Fa Jus | vdx 0 0

Juras . | udx [ras

dans le cas contraire.

Plus généralement, ou tire de la formule (8)

D b b SANTA SE [ f eds. |r (x) uvdx = | f(x) udx. | f(œ) vdx

bd à = [fout mort) red den dr,

la conséquence suivante :

b bas b. b fr (æ) dx. fr (x) we |v f(&)dz. | v f(x) dx

quand ne 0 pour a << x <b A b “ D Me et fre) dx. | f(x) uvdx < | u f(x)dx Je f(œ) dx a. ( 4 œ ©

quand. 2 - ee < 0, pour a Lx <b, f(x) étant une fonction quel- ; conque, positive entre les limites à et b. | On aura par exemple, en faisant

L ; Le Re: ut, ot k>œ1 | Re.

observant que

du dv __ 32 on 2k—2 | ÿ m'œm—=@—-Ë)x ">0 4

| a et désignant par &, l’intégrale : rie 4

D f(w) de 4

Lan (ES èE F .> è LS En At” -G.

PNR) VNTTRE]

égalité suivante | 2 RO % > aa C7 04

En faisant Es = 0, me œ, 0 — a , romplaçant fa) par 4* (x),

Pr Etam > Up pyme

. Chapitre III.

Sur Îles fonctions, analogues aux fonctions de Legendre. Après avoir exposé les propriétés générales des fonctions qui proviennent du développement en fraction continue de l'intégrale

indépendentes de la forme de la fonction f(y), nous allons maintenant

nous arrêter sur la considération des propriétés spéciales des fonc-.

tions, correspondantes au cas particulier FO = + AN,

a = — 1, b— + 1, en supposant les paramètres a et B > 0. Le dénominateur de la #°"° réduite dans le développement de l’intégrale

+1 (+ y (1 — y 1 dy 2 —y ST en fraction continue de la forme