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g; — étant linéaires par rapport à z, est une fonction entière de z
de dégré », que nous désignerons par T,(+) ou simplement par 7, en supposant le coefficient de 2" dans son expression égal à l’unité,
Les fonctions T5, Ti, T,,... T-.. sont connues sous le nom de fonctions analogues aux fonctions de Legendre ou de polynômes de Jacobi, qui les a considéré le premier dans son mémoire sur la série hypergéometrique, inséré dans le T. IIT de ses Oeuvres complètes, (éd. 1871) et dans le L VI tome du Journal de Crelle. Nous allons voir, que les propriétés principales des fonctions T,, peuvent être obtenues facilement, sans qu’il soit nécessaire de recourir à la
théorie des séries ee tie 1. L’équation de définition des fonctions 7. est
+ 1 Jo RU) PO dr (1)
0, , désignant comme toujours une fonction entière arbitraire de dégré <n— Ï et l'équation (1) tenant lieu d’un système de » équations distinctes, qu’on obtient en remplaçant @,, par n fonetions entières indépendentes, par exemple par 1, 2, #,... 27". Convenons de désigner par 7° la fonction qu’on obtient en remplaçant
« et B par a +1, Dries dans l’expression de 7°, et plus généralement par 7,0 LE qu’on obtient en y remplaçant &, B par & + M, pm
La fonction 7, est définie par l'équation
+ 1 | Éd NT DO da, (2) —] Cela posé, on à la relation A en re I
En effet, en posant dans l’équation (1) don —2 He) =)
et intégrant par parties, on aura
Ja + 2) (1 — —PŸT, 2 da =
nl | (+2 (T0, , | — | SA) (1—2ŸT,) 0, ,d2=0
Jar A— En 0, de +
Jo +2) (1 — 2 T(a—8B—(aB)z)0,,dz—0.
Or, (a — 8 — (a+ $)2)9,., étant de dégré < n — 1, la seconde intégrale est nulle et l’équation précédente se réduit à #1 [a at (1—2) Lr0,,d8=0........ (3) En comparant cette équation avec (2), on aura sur le champ
dTh D ADP
de Nn—1?
la constante C se détermine d’après la convention sur le coefficient de 2” dans 2, qui donne C'=— n, donc
LINE (1) LS ni as Rs Hsber(l) à. La fonction T de l’équation différentielle ;
Gt 7" Een as
(1 =) M u—8— (a+ 99 Ÿæn(a+ fn —1)y 0.
NT
do
En effet, en posant dans l'équation (3) 9,, = %=1 et inté-
grant par parties, On aura
F2 fe (A +2 (1 +) 0, ,d=0 et ou + l - Jeraa etai (e-s-(erp) Pile, do) |
d’où, en vertu de l’équation (1), on voit que la fonction entière de dégré »
CAGE Genie 00
ne diffère de 7, que par un facteur constant et comme le coefficient de 2” dans Pexpression (4) est égal à. .
— n(n—1) — n(a+$8) = — na+8+"0—1), | on aura (A — SE + (a nee — (4 + 6) nr RU md EE SES (IT) ce q. f. d.
Le procédé élégant exposé c1 dessus de la déduction de cette équation différentielle appartient à M. Markoff.
3. La fonction T peut être représentée par la formule suivante
T, (e) ÉT.
(—1}(1+2)1— 412) —Ê AMAR) EN 2) PEN —1 à II rfene Dar in- SIM R rond) NS oder . (III) A*%
TE A TR + OT RS © PR PC. ER OS armee Enr EL dE Le AR FR 2204 #27 RUE e PM 4 Or ET AG NON DENLS Dee ei) CE Rae TS CES A APCE NE ET € RES SE Te IR HET NC + te KE VOA ae) AR Pr <Ù PARLER PA LA Es < ay ke + Sa" AE Re D AE PT SP ME RE ne dl ERP OUT D PET LL NO ME AL PT VON RE CUS EL RS
$ x 2, Q AUDE 5 ES 2 LENS CU AS an Sr 1 CINE Qu:
3 vs : HR. Le
HERO E En effet, l'équation IT peut être mise sous la forme Eur < AT LC +2 (1 — Ÿor}= ner Born le) al 2m
d’où l’on déduit
(1+ 2) ao =
— n(a+B+n— ofo + 8) (1 PTT de
LP À Or Te (1) TASER L n—1?
donc
A+ — PTT —
— (a+ PB + n — ba He) Re Ce T, de.
En intégrant encore une fois, on aura &
Ja +2 (1 — Ti, de —
= (en, SEX EL 1] Ja +2) (1 ef T dé
D'autre part, en remplaçant «, 6, n respectivement ts a +- 1,
Bæ+1l,n— TI, la formule (5) rt
) CR pe as
=D) (@-Baen) [a +9 a PT Ga.
