DE RER SR

& désignant un nombre imtermédiaire entre a et b, et le coefficient de z” dans l’expression de ©, (2) étant supposé égal à l’unité. Or, d’aprés la définition de ©, (+), on aura

b b Fa | D (2) f Ce) de = AO = Lie DO (2)

Done, la formule (4) donne

| o(:)f ou=S a op + 20 LCICLE (5) a e a

Cette formule, donnée pour la première fois par M. Markoff dans son ouvrage ,Sur quelques applications des fractions continues algèbriques® (en russe) St. Pétersbourg 1884, fournit l’expression du terme complémentaire de la formule (1) des quadratures approxima- tives. Elle montre que l’erreur qu’on commet, en prenant la somme

ER Ÿn (z5) 2 ent) à E)

Dre » 2407 +

ON es pour la valeur de l’intégrale b | Je (2) f(2) de a

est comprise entre les deux nombres

| b me, (2) fe) de et fes (2) Fe) dé,

M et m désignant la plus grande et la plus petite des valeurs que prend la dérivée d’ordre 2n de la fonction Q(2), quand la variable z parcourt l'intervalle de & à 0.

Les considérations exposées ei dessus montrent qu’on arrive à la formule des quadratures approximatives (1), en remplaçant la courbe donnée

par une courbe parabolique d'ordre 2n — Ï y = B(x)

ayant un contact du premier ordre avec la courbe donnée dans #

points, dont les abscisses 2,, ,,...2, sont racines de l’équation

o,(2) = 0, pour laquelle on a

s É | | f(2)9,()0,,() de = 0.

C’est en vertu de ce choix des points du contact que l’intégrale

D Jos

PO) rt

s’exprime par les quantités Q(z,) seules et que les termes, dépendents de Q(+,) disparaissent dans l’expression approchée de l'intégrale. -