LES

vec

Pet À

dy F=|22%; a

Ve, DE:

| ne

en développant cette fonction suivant les puissances décroissantes de #, NOUS aurons

où:

œ = (y) y' dy.

La fonction Æ(2) peut être aussi développée en fraction continue . de la forme

FO ue LE eu ce Ca 2 dés FREE EN rue me del) Qus Dos ++ ns. Etant des fonctions entières de z et c,, c,, . .. ,,-.. des constantes, dont les valeurs peuvent être choisies arbi-

trairement. On peut disposer des valeurs de ces constantes pour faire, si on le juge à propos, les coefficients de la plus haute puissance de z dans les fonctions g1, @,,... qg,,... égaux à l’unité, ou à d’autres nombres donnés à priori.

2, Désignons par (2) ou %, le numérateur et par o,(2) ou ©, le dénominateur de la #°° réduite de la fraction continue (2). Nous aurons |

DC, Pi —=g.

bo Cid P = did —0C et en général

Dur n+1 Die Cn+i nr À Cr tee

Pate net Pn entrent) ces formules étant vraies pour #7 1, en convenant de poser V = 0, p, =].

Les formules (3) donnent comme conséquence

DE AE Prti D, = Ci Co k AE resssree (4)

ou Vni ___ Vn CiC2e- Cmer C1 Ce Cp Pn+1 Pn Pn Pn+1 En (An+1 Pn— Cn+1 Pn—1) En remplaçant le quotient incomplet g,,, par le quotient complet 2,,, et remarquant que

os ta es )

F,., désignant une fonction qui s’annule pour 2=— co, nous aurons | |

F(+) RTE Ci Co. .Cn+1 vs Pr (On 2n+1 — Pn--1€n+-1) ?n

es Ci Co... Cn+1 (5) (On dn-+1 — Pn En+1 — Pn—1 En+1) Pn à

Désignant par à, le dégré de p, et remarquant que le dégré de

4, est au moins égal à 1, la formule (5) donne pour la limite de

pô (Fa—°)

une quantité finie ou 0. Donc, dans le développement de Ÿ | F'(e) is

suivant les puissances décroissantes de z, le premier terme sera de dégré <— (25, +1).

Cette propriété de la fraction réduite est caractéristique, car on peut démontrer la proposition suivante, réciproque de la précédente, SaVoIr :

Si £ désigne une fraction rationelle, dont le dénominateur est de

dégré y, telle que dans le développement de la différence F(2) — . Su1vant les puissances décroissantes de z le premier terme est de dégré <—(2y+1l), cette fraction = est une des réduites dans le déve-

loppement de F(2) en fraction continue.

En effet soient | Ô., Ô

DIET n ?

19 AHL >" *

les exposants de la plus haute puissance de z respectivement dans Pis Pare Pas Paire * * -Soit à,,, le premier de ces nombres qui surpasse p; on aura

dre, 1*

Cela posé, la formule (5) pouvant être écrite de la manière sui- | 4 vante |

Co... € FUN En C C2 + :Cn+1 “ (e) Pn On (En+1 — Pn Fn-+1)

donnera un développement de la forme Pn ET On +Ün+1 nt Ôn+1#1 ae

Or, par condition on a

d b b PF) — = me amet...

et comme 2+l>u+d,, +, >U+,

on voit que la différence

er — a —

est de dégré << —(u-#0,), ce qui exige que do, — pb, se réduise à 0, donc do, — pd, — 0,

ce q. [. d.

3, Dans tout ce qui suit nous supposerons que la fonction (y) + reste positive entre les limites de l'intégration. | Théorème 1. La fonction f{(y) restant positive entre les limites

a et b, tous les quotients incomplets dans le développement de l’intégrale ARS b a “ E — (1 Co 5 ie Ces eu

C3 SE F Tes Tran | |

sont des fonctions linéaires de &.

Pour le démontrer, multiplions les deux membres de la formule

F(e) __ Ÿn (2) ns Cy Co ce Cn+-1 Pn (€) (On 2n+1— Cn1 Pn—1) Pn

par @,"(2), nous aurons

; Anti En+i— DATI A ou b 7] a )— n° éroar fus ) Pn” (y) à es] 2 —7Y 2—7Y ; Ha (6) Ana Fnta— NT

Pn J

Remarquant que MT est une fonction entière de z, que

PF, et ne sont des fonctions qui s’annulent pour z = © ef n :

supposant pour un moment que le dégré de g,,, soit supérieur à 1, on arrive à une contradiction, car dans cette supposition le coeffi-

cient de - dans le développement du second membre de la formule (6)

est évidemment égal à zéro, tandis que le même coefficient dans le premier membre est représenté par

Je (y) f (y) dy

quantité plus grande que zéro, tous les éléments de l’intégrale étant positifs. Donc q,,, doit être linéaire par rapport à 2. En désignant par à,,, le coefficient de z dans l’expression de

Ga» 0n aura, d’après la formule (6) : b (y) (y) dy = RE... (7) n+1

RE LT mt Ne 7 TS EL ES RNA ee 7 Let ri pa - PE RE ETS A Le # ve fn “ PER ht - > LP TN EST

Corollaire 1. Le dénominateur &,(2) de la n°” réduite est une fonction entière de dégré »; le premier terme dans le développement de.

B,— Pa (2) F(e) pos qd, (2) |

suivant les puissances décroissantes de z est de dégré — (n + 1).

Corollaire 2. Si les constantes c,, c,, .. c,,, ont des valeurs positives, les coefficients a, &,,... a,,, et par conséquent, les coefficients des termes le plus élevés dans les fonctions ©.(2), (2)...

®,.,1(2) Sont aussi positifs.

4, La formule (5) qui nous à conduit au théorème précédent, fournit aussi les expressions des fonctions d,.(2), R,(2) au moyen de la fonction o,(2). Multipliant les deux membres de Ja formule (6) par o,(£), nous aurons | x.

b J (y) dy LS REC Eee nets PC ) 2 — y +=9, G Le On En+41— Cn+1 Pn—1 (4/ ou b Ab SALE AU (y) dy = a a —=4, (2) +R, (2)

d’où, en comparant entre elles les parties entière et fractionnaire des x deux membres, on aura

b | __ | Pn (2) — Pa (9) | d. a= [met { (y) dy LR 4 ae rer LT .(8) Ë Ro] Pa 2...

>, Nous dirons souvent, pour abréger, qu’une fonction Æ(2) est de dégré (— x), si dans le développement de Æ(2) suivant les puissances décroissantes de z, le premier terme est de dégré = — y.

Il est facile de voir que deux fonctions F2) et F (2), dont la différence F2) — F2) est de dégré <—(2n+-1) par rapport à z, ont les mêmes réduites jusqu’au rang » inclusivement, dans le déve- —loppement en fraction continue de la forme

di 2 + 0, —

En effet, en désignant respectivement par ce et - les réduites de rang » dans les développements de (2) et F(2), on aura par définition

PF) re mes + ——.

Pa sant n2 F(2)— TRI UNE Hynts Fe.

d’où il suit, remarquant que F(2) — F(2) est de dégré < — (2n+-1) par condition, que la différence

Ÿn On — Un În— On Pn

Pn 1 FES OnÎn

est de dégré < — (2n+-1), ce qui exige que d,f, — w,®,— 0 ou

sans quoi cette différence serait de dégré De 2n. Il suit de cette remarque que pour calculer les réduites jusqu’au rang » inclusivement dans le développement de l'intégrale

jé dy z—Y

il suffit de connaître les 2n premiers termes de son développement en série |

c’est à dire les quantités

PAL ÉR RE ENT n :

2 2h (y)y° dy (4,

et de développer en fraction continue l’expression finie

Si pour fixer les idées on prend tous les nombres &, c,,...

c.,... égaux à l’unité, le développement

UE +d— ——— Que 1

coineidera dans les premiers n quotients incompléts avec le développe-

ment de F(2).

S1 l’on connaissait un terme de plus dans le développement de

l’intégrale

b d F( = Î fu) du a

en série, on aurait en développant l’expression finie

en fraction continue