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un développement qui comeide avec celui de l’intégrale dans les » premiers quotients incompléts et dans lequel, en outre, le coefficient a,., de z dans le quotient suivant est égal au coefficient correspondant dans le développement de F{(2).
En effet, soient respectivement q,,, et x,,, les quotients incomplets de rang # + 1 dans les développements de F2) et F(2); les réduites de rang n + 1 seront respectivement
Un ee n41 Ÿn— Ÿn—1 et Oyp+1 ra Xn+1 Ÿn— Ÿn—1 Pn+1 n1 Pn— Pn—1 În1 Xn1 Pn— Pn—1 ?
Ut, Ÿ» étant les réduites des rangs n — 1, n communes aux déven—1 n F
loppements de Æfz) et F,(2).
Les différences ;
F()— et, (2) — Su
Pn+1 În+1
. étant de dégré — (2n +5) et
F(2)—F,(2) de dégré — (2n + 2), on voit que la différence
bras ni (los es ed JA PA Pn +1 În1 Pn+1 Pn În+1 Pn Pn+-1 Pn În+41 Pn’
est elle même de dégré —(2n + 2), ce qui ne peut arriver que
sous la condition que les coefficients de 27" dans p,,., et f,4, ou, ce qui revient au même, les coefficients de z dans q,,, etx, ,, Soient
égaux, ce q. f. d.
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6. La formule (9) conduit à la propriété fondamentale et caractéristique de la fonction @, (+), qui peut tenir lieu de la définition de cette fonction.
Développant le second membre de (9) suivant les puissances décroissantes de z, et remarquant que À,(2) est de dégré —(n + 1) par rapport à z, nous aurons les égalités suivantes
b 70 Jr (y) ©, (y) dy = 0, Jr (y) ©, (y) y dy — 0,
b b ro op, (9) dy =0,... [0 o,(9)y"—" dy=0. .(10)
qui entrâinent comme conséquence la formule
b froo pe (y), 24 (dy UE er (11)
0, , (y) désignant une fonction entière arbitraire de dégré £n—1. Cette formule entrâine elle même comme corollaire l'égalité
bd A Î Do DO ME (12)
pour # £n, qui est d’un fréquent usage dans les applications.
L'égalité (11) peut tenir lieu du système des égalités (10), en laissant à la fonction 4, (y) toute sa généralité et définit complètement la fonction entière @,(z) de dégré », en, faisant abstraction d’un facteur indépendant de z, car on peut démontrer facilement que toute fonction entière de z de dégré n, satisfaisant à l’équation (11), ne diffère de o,(2) que par un facteur constant.
