PO DT
Jia formule IIT du n°8 donnera le minimum de f(1) pour u— 2# et la formule IV fait voir que le maximum de f(1) est infini.
2) Soit f(y) une fonction inconnue de y constamment décroissante entre les limites O et 1 de la variable, c’est à dire telle que f’(y) ne soit jamais positive entre ces limites. | = Etant données la valeur f (1) et les valeurs des intégrales
ik
ee Î fo). À = foi
Ras = ide f (y) dy, ts
no — fo MUR f(y) dy.
on om et 4 ‘désignant Ts Rnb es on ne le maximum et
| À minimum de f(x), & étant un nombre donné entre 0 et 1. : A
Les données du pfoblême donnent, à l’aide de Pintégration re | partis le moyen de calculer les intégrales J à
FO
m+-1 ? n-1-k-117 tt m+diæ+i?
< . en désignant
| aan [NT (p)à ; 0 En eftet À De =| EP (y) dy 5 —= f(1) — (m ++ 1) 4, Or RE fu = ro] rar
et la question se réduit à trouver les valeurs limites de l'intégrale
D re es | rex
+. Omgaux Étant données.
ma? mi? m
les quantités o Ne -u Posant | Do ns nous aurons | FT IESE 1
2 , + Faith =, nr Qu je cn. ‘ (ue 1) du.
En posant mMmA-2
don PU 0) O (u),
O (u) restant positive entre Les limites 0 et 1 de la variable et:
désignant encore = | — w) 0 (u) du
on aura
ni Ps.
La même substitution donne
æ u " 1-4 | rod [ra à fau 1 0 | Ou) T1. du 0 (i—u) ” où u= 1 — x,
Observons encore que, connaissant les quantités 8,, 6:,.
nous pouvons calculer les intégrales
œ, = |" O (u) du
pour i—=0, 1, 2,...u, d'aprés la formule
DR Ne pen
2 "Pu
et la question proposée se réduit à la recherche des valeurs limites de l’intégrale
U 0 (w) m + 1 du 0 (LH les quantités &, &,..,@ Gtant données, question qu’on sait résoudre, observant que la fonction Q (u) Fe m +1 TT De
remplit évidemment les réstrictions nécessaires pour pouvoir appliquer les formules des »° 8 et 13.
Exemple. Soient données
A,= ler (y) dy, A,= | y f(y) dy 0 Ho
et f(1); on demande le maximum et minimum de f(x), 0 x < 1. On aura ici |
Ge) 04 0 j(r}—-64; B= 34, —f(1), B= 54—f() ay = 34, —f(1), = 34,—54,.
Supposons en premier lieu x — 0. On aura
TOBTIUES Pur = du.
-La formule I du n°8 donnera
