INTRODUCTION

1. On s’accorde assez généralement à considérer un nombre y comme fonction de la variable x, quand à toute valeur numérique de x correspond une valeur bien déterminée de y. Lorsqu'on impose à cette correspondance certaines conditions de continuité, dérivation, etc., on obtient des classes de fonctions jouissant de propriétés précises. C’est ’étude de ces propriétés qui constitue le principal objet de l'Analyse moderne.

La notion de fonction ainsi comprise a été progressivement étendue dans plusieurs directions (par exemple en ce qui concerne l’uniformité) et en particulier au point de vue de ce qu’on doit prendre pour variable. Depuis longtemps, on a considéré des fonctions de deux, de trois, ou même de # variables numériques. Les autres généralisations sont plus récentes. Ainsi, M. LE Roux a été amené à étudier les fonctions dont la valeur dépend non plus de #, mais d’une suite infinie de variables indépendantes (xvur) *). MM. Vozrerra (xv) et ARZELÀA (v) paraissent avoir été les premiers à étudier systématiquement les fonctions dont la valeur dépend de la position et de la forme d’une ligne variable. M. HapamarD (x1) a considéré une classe particulière de fonctions dont la variable est la forme d’une fonction ordinaire.

Nous nous placerons dans ce Mémoire à un point de vue tout à fait général qui embrasse ces différents cas.

Pour cela, nous dirons qu’une opération fonctionnelle U est définie dans un ensemble Æ d'éléments de nature quelconque (nombres, courbes, points, etc.) lorsqu’à tout élément À de E correspond une valeur numérique déterminée de U: U(4). La recherche des propriétés de ces opérations constitue Pobjet du Calcul Fonctionnel.

*) Les chiffres romains renvoient à la bibliographie rejetée à la fin du Mémoire.

FRÉCHET.

2 MAURICE FRÉCHET.

Le présent travail est une première tentative pour établir systématiquement quelques principes fondamentaux du Calcul Fonctionnel et les appliquer ensuite à certains exemples concrets.

2. Dans ce but, il a d’abord fallu généraliser la théorie des ensembles linéaires qui a fait faire tant de progrès à celle des fonctions d’une variable. On pourrait objecter que pendant longtemps la théorie des fonctions a pu se passer de la considération des ensembles ponctuels. Mais létude préalable des ensembles s'impose avec bien plus de force dans le Calcul Fonctionnel. Rien en effet (au début, du moins) ne vient jouer, dans le Calcul Fonctionnel, le rôle de l'intervalle dont la considération a sufh pendant si longtemps aux analystes pour la théorie des fonctions.

L’utilité de cette étude préalable des ensembles étant admise, une difhculté se présentait. La première généralisation qu’il était naturel de se proposer est celle de la notion de fonction continue. Or, si on veut l’étendre à des opérations dont la variable soit un élément de nature quelconque, il faut d’abord savoir ce que l’on doit entendre par éléments voisins ou par limite d’une suite d’éléments. Cela parait impossible: on a lhabitude de donner une définition spéciale de la limite pour chacune des catégories d’éléments considérés jusqu'ici: points, courbes, etc. J'ai tourné la difficulté par une méthode analogue à celle qui permet dans la théorie des groupes abstraits de raisonner sur un mode de composition non défini explicitement. |

Après avoir développé ce point de vue, je remarque que presque toutes les définitions classiques de la limite (mais non toutes) peuvent se traduire de la manière suivante: Pour la catégorie d’éléments considérée, on peut faire correspondre à tout couple d'éléments 4, B, un nombre (4, B) 0, ayant des propriètés très analogues à celles de la idistance de deux points et tel'que:, 1° BicoincideWavec "4m 4 2) 0 Re 2° B tend vers 4 si (4, B) tend vers zéro. En adoptant cette hypothèse moins générale, mais cependant très étendue, on obtient des résultats plus précis et plus nombreux.

La voie que nous venons d'indiquer nous a conduit à la généralisation de presque tous les théorèmes sur les ensembies linéaires et sur les fonctions continues (du moins, de ceux qu'on peut énoncer d'une manière indépendante de la nature des éléments que l’on considère).

Il fallait d’abord voir comment transformer les énoncés des théorèmes pour qu’ils conservent un sens dans le cas général. Il fallait ensuite, soit transcrire les démonstrations dans un langage plus général, soit, lorsque cela n’était pas possible, donner des démonstrations nouvelles et plus générales. Il s’est trouvé que les démonstrations que nous avons ainsi obtenues sont souvent aussi simples, et quelquefois même plus simples, que les démonstrations particulières qu’elles remplaçaient. Cela tient sans doute à ce que la position de la question obligeait à ne faire usage que de ses particularités vraiment essentielles. D’ailleurs, nous n’avons eu besoin dans cette PREMIÈRE PARTIE que des notions les plus élémentaires (en dehors de la définition et des propriétés de la puissance d’un ensemble).

Dans la SECONDE PARTIE nous avons appliqué les résultats généraux ainsi obtenus,

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 3 LE TR I RUN IE Ve De ARE TEE P NN Re

à diverses catégories d'éléments, chacune d’une nature déterminée. La seule difficulté consistait À montrer que chacune de ces catégories se trouvait répondre aux conditions générales nécessaires pour la validité des théorèmes de la PREMIÈRE PARTIE. Cela fait, il ne restait plus qu’à énoncer ces théorèmes dans chaque cas. Nous attirons en particulier l’attention sur la définition que nous avons donnée de « l'écart» de deux courbes, de deux fonctions holomorphes, etc. IL semble que ce soit par ce seul moyen qu'on puisse (en généralisant ainsi la notion d’intervalle) s’affranchir un peu de la considération des ensembles.

| Chemin faisant, nous avons précist la définition de deux courbes et complété un théorème important de M. ARzELA sur les ensembles « compacts » de courbes.

D'ailleurs une table des matières indique en détail les divisions adoptées.

J'ose espérer que les propositions nouvelles que j’ai pu obtenir dans le cas des courbes par exemple, justifieront l’utilité des considérations générales dont je les ai déduites. Mais si la preuve restait à faire de cette utilité pour les applications, elle résulterait manifestement de l’usage qui a été déjà fait des cas particuliers classiques; par exemple par M. ARZELÀ en ce qui concerne les ensembles de fonctions (vi, var) et par M. Le Roux pour l’espace à une infinité de dimensions (xIx).

3. Pour plus de netteté, les propositions que je crois nouvelles sont les seules imprimées en italiques. Quelques-unes d’entre elles ont d’ailleurs été déjà présentées à PAcadémie des Sciences les 21 Novembre 1904, 2 Janvier, 27 Février, 20 Mars et 27 Novembre 1905, ou publiées sous une autre forme dans une Note des Transactions of the American Mathematical Society (Kxvir). Enfin, pour ne pas être trop long, j'ai laissé de côté des recherches se rapportant à d’autres parties du Calcul Fonctionnel et que j'avais publiées ailleurs (Kxvn).

Je ne veux pas terminer cette INTRODUCTION sans exprimer la reconnaissance que je garde à mes maîtres pour les encouragements qu’ils n’ont cesse de me donner. Je dois remercier tout particulièrement M. HapamarD qui a bien voulu s'intéresser au développement de ce travail et dont les précieuses remarques m'ont amené à en perfectionner en bien des points la rédaction.

4 MAURICE FRÉCHET.