CHAPITRE

Notions générales sur les ensembles d'éléments d’une classe (L).

4. Objet du Calcul Fonctionnel,—Considérons un ensemble E formé d’éléments quelconques (nombres, points, fonctions, lignes, surfaces, etc.) mais tels qu’on en sache discerner les éléments distincts. À tout élément À de cet ensemble faisons correspondre un nombre déterminé U(4); nous définissons ainsi ce que nous appellerons une opération fonctionnelle uniforme dans E.

’étude de ces opérations est l’objet du Calcul Fonctionnel. Il est à présumer que les propriétés de chaque opération dépendront, d’une part des propriétés de l’ensemble dans lequel elle est définie, d’autre part de la nature de la correspondance qui définit l'opération, c’est-à-dire de la correspondance (non univoque) entre les éléments de E et certains nombres qui sont les valeurs de lopération. On voit donc que le calcul fonctionnel comprend nécessairement une théorie préliminaire des ensembles.

5. Théorie des ensembles. —Les résultats qu’on obtiendra dans une telle théorie seront d'autant plus étendus qu’on s’adressera à des ensembles plus généraux. Pour obtenir la plus grande généralité possible, il y aurait donc lieu de chercher d’abord des résultats applicables à des ensembles abstraits, c’est-à-dire dont on ne spécifie pas la nature des éléments. |

Les résultats les plus importants qui ont été obtenus jusqu'ici dans cet ordre d'idées sont ceux qui concernent les notions (introduites par M. G. CanTor) de puissance d’un ensemble et d'ensemble ordonné.

Pour la PREMIÈRE PARTIE de ce travail, je n’aurai à supposer connus (en dehors des notions mathématiques les plus élémentaires) que ces résultats, et même seulement les plus simples d’entre eux *). En particulier, je n’aurai pas à utiliser la théorie des ensembles linéaires et des fonctions continues qui apparaitra, au contraire, comme un corollaire très particulier de notre théorie générale.

6. La notion de limite dans les ensembles abstraits.—Les résultats les plus connus et en fait les plus importants de la théorie des ensembles sont ceux que l’on déduit de la notion de limite d’une suite d'éléments. Or, on n’introduit jamais cette notion qu’après avoir abandonné létude des ensembles abstraits et en spécifiant bien nettement la nature des éléments que l’on considère. C’est le même fait qui se produisait lorsqu'on dévelop-

*) Voir par exemple 11, pages 1, 2; et III, pages 27, 28.

pait séparément les théories des groupes de mouvements, de substitutions, de transformations, etc., où chaque catégorie d’éléments donnait lieu à un mode de composition parfaitement défini, mais dont la définition variait d’une catégorie à l’autre. On ne put arriver à une théorie commune qu’en s’abstenant de donner une définition générale de ce modé de composition, mais en recherchant les conditions communes aux définitions particulières et en ne retenant que celles qui étaient indépendantes de la nature des éléments considérés (xxiv). ‘C’est aussi d’après le même point de vue qu’on a été amené à simplifier Pétude des forces, des vitesses, des rotations, etc., en les faisant précéder d’une théorie des vecteurs. Cette idée se retrouve un peu modifiée dans l’usage qui tend à se répandre des définitions « descriptives » particulièrement préconisées par M. DracH (xx). Telles sont, par exemple, les définitions de la mesure d’un ensemble qui ont été proposées par M. BoreL *) et M. LEBESGUE (1v, page 102); la définition de l’aire introduite par M. HapamarD dans ses Leçons de Géométrie Élémentaire (ArmanD Cou, 1898), etc. Mais il y a cette différence que dans la définition « descriptive » on énonce des propriétés caractéristiques de l'être que l’on veut définir (iv). Au contraire, dans la théorie des groupes abstraits, le mode de composition est suppost défini à l’avance dans chaque cas particulier; mais on ignore volontairement cette définition pour ne retenir que certaines conditions générales qu’elle remplit mais qui ne la déterminent pas.

En procédant ainsi, il arrive que certaines démonstrations sont rendues plus diffciles puisqu'on se prive d’une représentation plus concrète. Mais ce que l’on perd ainsi, on le regagne largement en se dispensant de répéter plusieurs fois sous des formes différentes les mêmes raisonnements. On y gagne souvent aussi d’apercevoir plus nettement ce qui dans les démonstrations était véritablement essentiel et de les simplifier ainsi en les débarrassant de ce qui ne tenait qu’à la nature propre des éléments considérés. C’est ce que nous allons essayer de faire pour le Calcul Fonctionnel et en particulier pour la théorie des ensembles abstraits.

7. Si l’on examine avec soin les diverses définitions classiques de la limite d’une suite de nombres ou d’une suite de points ou d’une suite de fonctions, etc., on remarque immédiatement que toutes ces définitions satisfont à deux conditions [ et IT que l’on peut énoncer indépendamment de la nature des éléments considérés. Ce sont ces conditions qui nous sufhront tout d’abord pour généraliser certaines propositions de la Théorie des Fonctions.

Dorénavant, nous nous limiterons donc à l’étude des ensembles tirés d’une classe (L) d'éléments de nature quelconque mais satisfaisant aux conditions suivantes: on sait distinguer si deux éléments de la classe (L) sont distincts ou non. De plus, on a pu donner une définition de la limite d’une suite d'éléments de la classe (L). Nous supposons donc qu'étant choisie au hasard une suite infinie d'éléments (distincts ou non) de la classe (L), on puisse dire d’une façon certaine si cette suite À,, À,,..., À,,... 4 ou non une limite

*) « Dans tous les cas, elle procède de la même idée fondamentale: définir les éléments nouveaux «que l’on introduit à l’aide de leurs propriétés essentielles, c’est-à-dire de celles qui sont strictement in-

« dispensables pour les raisonnements qui doivent suivre» (1, page 48).

A (d’ailleurs unique). Le procédé qui permettra de donner la réponse (autrement dit la définition de la limite) est d'ailleurs absolument quelconque, assujetti seulement à satisfaire aux conditions I et Il dont nous avons parlé et qui sont les suivantes:

I) Si chacun des éléments de la suite infinie À,, À,,..., À,, ... est identique à un même élément À, la suite a certainement une limite qui est À.

Il) Si une suite infinie À,, À,,..., A,,... a une limite À, toute suite d'éléments de la première suite pris dans le même ordre: A,, A4,,,..., Au,, ... (les nombres

entiers n,,1,, ..., #1, tront donc en croissant) a une limite qui est aussi À.

8. Les définitions usuelles de la théorie des ensembles ponctuels étendues aux ensembles abstraits. — Il nous est actuellement possible, dans Phypothèse où nous nous sommes placés, de généraliser les définitions qui sont ordinairement adoptées dans la théorie des ensembles ponctuels.

Nous considérons donc un ensemble quelconque Æ d’éléments d’une classe (L) où l’on sait définir conformément aux conditions I et II, la limite d’une suite d’éléments.

Nous dirons qu'un élément À de la classe (L) est un élément limite de E lorsqu'il existe une suite infinie d'éléments de E: 4, À,,..., À, ,... qui sont distincts et tendent vers À. Nous appellerons ensemble dérivé d’un ensemble Æ et nous désignerons par la notation E’ l’ensemble des éléments limites de E. Nous dirons qu’un ensemble est fermé lorsqu'il contient son ensemble dérivé; qu’il est parfait lorsqu'il coïncide avec son dérivé. Enfin, considérant un ensemble donné Æ comme ensemble fondamental, nous dirons qu’un élément À d’un ensemble quelconque Æ, formé d’éléments de AH, est intérieur à E au sens étroit lorsque À est un élèment de Æ qui n’est limite d’aucune suite d’élé- Mob IN 418821 77. 4

Ces définitions sont usuelles dans le cas particulier des ensembles ponctuels. Nous

D appartenant à 7 sans appartenir à E.

introduirons encore avec M. LiNDELÔF (1, page 4) la notion d’élément de condensation d’un ensemble. Mais nous donnerons une définition différente de la sienne (qui ne se prête pas à la généralisation actuelle), quoique équivalente dans le cas où il se place, celui des ensembles ponctuels. Nous appellerons élément de condensation d’un ensemble E, un élément limite de Æ qui est aussi un élément limite de tout ensemble obtenu en supprimant de Æ une infinité dénombrable (1, page 2) d'éléments. On voit qu’un ensemble ne peut donner lieu à un élément limite que s’il possède une infinité d’éléments distincts et qu’un ensemble ne peut donner lieu à un élément de condensation que s’il possède une infinité non dénombrable d’éléments.

9. Les ensembles compacts. —Nous verrons par la suite qu’il y a utilité à introduire une nouvelle notion, celle d'ensemble compact qui joue le même rôle dans la théorie des ensembles abstraits que la notion d’ensemble limité dans la théorie des ensembles ponctuels. Nous dirons qu’un ensemble est compact lorsqu'il ne comprend qu’un nombre fini d’éléments ou lorsque toute infinité de ses éléments donne lieu 4 au moins un élément limite *). Lorsqu'un ensemble est à la fois compact et fermé nous l’appel-

*) Voir plus loin un exemple d'ensemble compact (n° 86) et d'ensemble non compact (n° 85).

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. pl RÉ D le ON ne A TRES SN TE EE VO EN A 22

lerons ensemble extrémal; cette dénomination se justifiera plus loin (nr Een de l’ensemble extrémal dans la théorie des ensembles abstraits est assez semblable 4 celui de l'intervalle dans la théorie des ensembles linéaires. Il y a aussi une grande analogie entre les ensembles compacts et les ensembles limités ponctuels. Cette analogie est mise en évidence par les remarques suivantes qui résultent immédiatement de la définition: Tout ensemble contenant un ensemble non compact est non compact. Toute partie d’un ensemble compact est compacte. Tout ensemble formé d’un nombre fini d’ensembles compacts est un ensemble compact. L’analogie se retrouvera d’ailleurs constamment par la suite.

St on considère une suite d’'ensembles E, E,, ..., E., ... formés d'éléments d’un même ensemble compact E, chacun fermé, contenu dans le précédent et possédant au moins un élément, il y à nécessairement un élément commun à tous ces ensembles.

En effet, il y a au moins un élément M dans E , M, dans E , etc. S'il y a une infinité d’éléments distincts dans la suite M, M, ..., soient M, , M,,, ... ceux-ci. L'ensemble Æ étant compact, cette dernière suite a au moins un élément limite M; comme elle est contenue dans Æ,, à partir de M,,, M sera un élément limite de E, Poct par conséquent appartiendra à l’ensemble ferme E,,. Ainsi M appartient à E,, et par suite à E,,E,,...,E,, Comme cela a lieu quelque soit p, il en résulte que M est commun dtous lestensembles EE”, "Si au contraire, n'y a dans la-suite MM qu'un nombre fini d’élèments distincts, c’est qu’il y a au moins un élément M qui est = .... Alors M est contenu, quelque soit p, dans E,, et par suite dans E, E,,..., E,,. Il est donc commun

répété une infinité de fois dans cette suite, soit M=M, = M,