NOMME EE

Sur le calcul effectif de l’écart de deux courbes.

100. La théorie que nous avons développée dans la PREMIÈRE PARTIE montre qu’une fois établie l’existence d’un écart, la valeur même de cet écart n’a plus une très grande importance. Autrement dit, il sufht de savoir qu’on peut définir un nombre satisfaisant aux conditions générales de l'écart (n° 49), sans avoir à se préoccuper de la manière dont on pourrait le calculer effectivement. Cela est d’autant plus vrai qu’on pourrait choisir une infinité d’autres définitions de lécart moyennant lesquelles la théorie générale pourrait se développer exactement de la même manière et qui ne changeraient pas les courbes limites d’un ensemble de courbes. Par exemple, si e est l'écart de deux courbes tel que

e 1e Mais la définition primitive a l’avantage de donner pour l'écart de deux courbes réduites à deux points une quantité égale à la distance de ces deux points; et pour deux courbes, l’une fixe, l’autre qui s'éloigne à l’infini un nombre qui tend vers l'infini.

nous l’avons défini, on pourrait le remplacer partout par 3e ou par ÿe ou par

La définition de lécart que nous avons donnée ne fait pas prévoir comment on pourrait le calculer effectivement, et ce calcul serait certainement très difficile en géntral. On peut cependant donner des exemples simples où ce calcul est possible. En général, on devra procéder de la manière suivante. On prouvera que, dans toute correspondance continue entre les deux courbes, le maximum 4 de la distance de deux points correspondants est supérieur ou égal à un nombre fixe e. On montrera ensuite qu'il existe au moins une de ces correspondances où ce maximum d est exactement égal à e.

Par exemple, considérons deux segments rectilignes 4B, 4'B' et soit A la plus grande des deux longueurs 4 4', BB'. On a toujours d 4 et l’on a d—4 lorsque

la correspondance est telle que deux points correspondants M, M' divisent l’un AB,

Pautre 4'B', dans le même rapport. Donc l'écart des deux segments est égal à A.

On peut être aussi amené à définir l’écart de deux courbes fermées. On le considérera alors comme la limité inférieure de tous les écarts qu’on obtiendrait en les considérant de toutes les manières possibles comme des arcs de courbes ayant chacun deux extrémités en coïncidence. On verrait alors facilement que si l’on considère deux circonférences de rayons R,, R,, de centres O., O,, situées dans le même plan et orientées de la même façon, leur écart est OO IR — R,].

Un exemple moins particulier est le suivant. Considérons dans'un même plan deux courbes convexes C, et C,, la courbe C, étant supposte à tangente continue et toute entière contenue dans C,. Dans ces conditions, on peut voir que l’écart de C, et de C, est égal au maximum du segment intercepté par C, sur la normale extérieure à C..

Dans ces exemples, on vérifie immédiatement que l’évanouissement de lécart est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux courbes coïncident, ce qui permet

souvent de prévoir la valeur probable de l'écart. Vu et approuvé:

Paris, le 2 avril 1906.

LE DoYEnN DE LA FACULTÉ DES SCIENCES, Paurz APPELD:

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 2 avril 1906.

LE Vice-RECTEUR DE L’ACADÉMIE DE PARIS,

LPLIARD:

MDEURS OLTÉES.

Collection de Monographies sur la Théorie des fonctions, publiée sous la direction de ÉMILe BoREL (Paris, Gauthier-Villars) :

(). Boret, Leçons sur la théorie des fonctions. Éléments de la théorie des ensembles et applications. 1898. (). Bore, Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes. 1905. (ur). BaIRE, Leçons sur les fonctions discontinues. 1905.

(iv). LEBESGUE, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. 1904.

Articles de M. Arzelà:

(v). Funzioni di linee [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1889, vol. V, 1° semestre, pp. 342- 348]. — Sulle funxioni di linee [Memorie della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, sezione delle Scienze Fisiche e Matematiche, s. V, t. V (1895), pp. 55-74].

(vr). Sullintegrabilità delle equazioni differenxiali ordinarie [bid., s. V, t. V (1895), pp. 75-88]. — Sull'esistenza degli integrali nelle equaxioni differenxiali ordinarie [bid., s. V, t. VI (1896), pp. 33-421.

MAURICE FRÉCHET.

(vu).

(vin).

Gr).

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Cm).

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(xv).

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(xvm).

(xx).

(xxn).

(xx).

(KXIV).

(KXY).