I AL

périeures à rs au plus égales à Fe Or il y a évidemment un nombre fini n

(Zn) d’intervalles Z dans G,, puisque les 7 n’ont aucun point commun.

On peut donc ranger ces intervalles en une suite dénombrable Z,, 1,, E, ...; d’après ce qui précède la longueur de Z, tendra vers zéro avec —, à moins qu'il ny ait qu'un nombre fini de ces intervalles. Dans ce dernier cas, il n’y a aucune difhculté à former o(x).

98. Supposons donc qu'il y ait une infinité d’intervalles 1. L’ensemble P des points du segment (o,1) qui ne sont intérieurs au sens étroit à aucun des intervalles J, est un ensemble parfait (11, page 12).

1°. Examinons d’abord le cas où P comprend les points o et 1 et n’est dense dans aucun intervalle entre o et 1. On sait alors (n, page 14), que l’on peut établir une correspondance uñivoque et réciproque entre tous les intervalles Z, d’une part, et tous les nombres rationnels positifs 1, d’autre part, et cela de telle façon que deux éléments correspondants soient disposés de la même manière sur Ox. Appelons #, le nombre rationnel que l’on fait ainsi correspondre à Z. Soit maintenant x un point quelconque du segment (0,1), autre que o et 1. Appelons /' un quelconque des intervalles Z qui ne sont pas complètement à droite de x, l'’ un quelconque des intervalles Z qui ne sont pas entièrement à gauche de x. Si l’on appelle #’ et w/’ les nombres rationnels correspondants, on voit que tout nombre rationnel compris entre o et 1 doit être un #’ ou un #/', et que Von a toujours w’Zu''. On définit ainsi deux classes de nombres qui comprennent entre elles un seul nombre que nous appellerons ®(x). Si nous posons en outre (0) — 0, p(1) = 1, on voit que nous avons défini #(x) en tout point du segment (0,1). En particulier, en tout point d’un intervalle Z,, on aura p(x)— «,. La fonction o(x) est donc constante dans chacun des intervalles 1. Je dis maintenant que si x << x’, on a nécessairement (x) <T px’), si x et x’ n’appartiennent pas à un même intervalle . En effet, il sufht d’observer que, sous cette hypothèse, il y à au moins un intervalle Z qui est entièrement compris à l’intérieur de (x, x’). Alors, d’après le mode de construction de p(x), on aura:

PC) Cu, LPC)

Ainsi (x) est une fonction non décroissante qui va de o à r et qui n’est constante que dans chacun des intervalles Z. Par suite, on peut définir, en chaque point x, la limite supérieure p(x—o) des valeurs de p(x") pour x'<x, et on aura o(x—0) Zœo(x). Or px — o) est au moins égale à la limite supérieure o(x) des valeurs de (x) quand x’ est dans un quelconque des intervalles J et reste x. Donc p{(x) = 9 (x — o). Autrement dit, o(x) est continue à gauche; de même, elle est continue à droite. En définitive, la fonction (x) est continue et répond bien aux conditions annoncées.

2°. Supposons maintenant que P, comprenant encore o et 1, puisse être dense dans certains intervalles. Alors on pourra former une seconde suite d’intervalles K., Æ,, ...

dont tous les points, extrémités comprises, sont des points de P, et telle que l’ensemble Q des points qui n’appartiennent au sens étroit ni aux X, ni aux I, ne soit dense dans aucun intervalle. Plaçons alors dans chaque intervalle K, une suite d’intervalles sans points communs: KV, KW, ..., telle que l’ensemble des points de K, qui n’appartiennent à aucun des intervalles K°, KŸ, ... soit de mesure nulle (n, page 16) *. Enfin appelons R l’ensemble des points qui n’appartiennent au sens étroit à aucun des FÉES SEEN URSS ER OS

D’après leur formation, ces intervalles n’ont aucun point commun (au contraire un J et un K pourraient avoir une extrémité commune). L'ensemble R est donc parfait, contient O et 1, et n’est dense dans aucun intervalle. On peut donc former une fonction continue non décroissante o,(x) qui n’est constante que dans les intervalles Z ou K!). Appelons d'autre part o,(x) la mesure de l’ensemble des points de P compris entre o et x. C’est une fonction continue non décroissante; de plus cette fonction est constante dans les intervalles Z et elle est certainement croissante dans les intervalles K!. ?,.Cx) Æ p,Cx) PQ) + 9,0)

qui va de o à 1 et qui n’est constante que dans les intervalles 7; elle répond donc à

Donc la fonction ®(x) — est une fonction continue non décroissante

la question.

3°. Enfin si P ne contient pas à la fois o et 1, autrement dit si l’un des intervalles I est terminé en o ou en I, on est ramené aux cas précédents en supprimant cet intervalle.

99. Il y a un cas particulier intéressant où lon peut former explicitement la fonction o(x). C’est celui où P est l’ensemble de CANTOR de mesure nulle (tr, page 12). Considérons un nombre quelconque x compris entre o et 1 et écrivons sa valeur dans le système de numération de base 3:

Les nombres 4 , a . ne pourront prendre que les valeurs o, 1, 2 et on peut

toujours supposer que l’on ait écrit un nombre tel que:

OU De 70222

OU b, se 0 0 o

sous la forme respectivement équivalente :

ONU TT DOOIDRER ou 0, bb, ... b,1222 :

Ceci étant, nous poserons toujours:

DONNE 00 ue o', ... indiquant qu’on passe dans le système de base 2 et en prenant en général

# Par exemple, on pourra placer dans K, un ensemble d’intervalles semblable à l’ensemble complémentaire [dans le segment (0, 1)] de l’ensemble de CanTor cité plus loin.

70 ° MAURICE FRÉCHET.

pour b, un nombre égal à o si l’un des nombres 4,, 4,, ..., 4,, est égal à x, et dans le cas contraire égal à 1 si a, — 2, et égal à 4, si a, 3< 2. Autrement dit, nous posons :

(+++) et RE ee MENT

He 2"

avec les conditions :

&(0)=— 0, ETC) ET BG)=®, (= RC) EX Il est facile de voir qu’on fait ainsi correspondre une même valeur de o(x) à tous les nombres x tels que NO, CC CREER OUR Cestent ire ettous diicrents Ke.

Ces points forment un intervalle; la correspondance ainsi établie entre cet intervalle et la valeur constante de o(x) est précisément celle qu'a indiquée M. Canror

pour prouver que l’ensemble P a la puissance du continu.