De troisième espèce
2) Lemme de Schwarz ; F désigne maintenant une surface algébroïde (ou une portion connexe à m feuillets égaux de surface algébroïde) projetée sur le cercle |æ| < R. Nous supposons pour simplifier que les points de la surface projetés sur æ —0 sont simples.
Soit Y une fonction holomorphe sur F, vérifiant :)) < M, et dont les m branches sont nulles à l’origine. On a pour tout point x tel que [x] RES
M [VI KIx| TR L'égalité n’est possible que si Y se réduit à k x LATTES R)
Il suffit de considérer la fonction d ; æ
3) Théorème de Cauchy : Soit M, un point quelconque d’une surface algébroïde F et v— 1 son ordre de ramification (le point est ordinaire si v—1),et soit Zu, une fonction holomorphe sur F, nulle au seul point M,
ét telle/que = admette M, pour pôle d’ordre y avec le résidu 1. LM)
Soit G un domaine quelconque de F limité par un nombre fini de courbes rectifiables T, et Y une fonction holomorphe dans G et continue dans G+T. ;
On a :
L ol V (M,) 7 CE Je + dx
Tl M9
qui donne les valeurs de ŸY aux points de G au moyen des valeurs de Ÿ sur le contour.
4) Appelons avec Myrberg norme d’une fonction méromorphe sur F le produit N (Y) — 4. Y.... Y,, des m branches de Y' (Myrberg, [2] et [4]). N(Y) est une fonction méromorphe de x dans D; et on a évidemment N(Y).NZ—N( VE). Si par exemple Y est holomorphe, N(Y ) est holomorphe dans D et a pour seuls zéros les projections des zéros de Y.
Supposons D simplement connexe. On peut alors prendre pour D l’intérieur d’un cercle de rayon fini ou infini.
Etant donné une fonction f (x) holomorphe dans D, il est possible de construire des fonctions % holomorphes sur F telles que N (®Y) —=f (x).
On choisit les zéros de %Y de manière que N(Y) ait les mêmes zéros
que f (x); Te est alors une fonction sans zéros de la forme e ‘", et il ; gr) suffit de substituer à : Y e # X Y.
On peut de même trouver des fonctions Y méromorphes sur F dont la norme soit une fonction méromorphe donnée.
Il résulte de cela l’existence de solutions pour certaines équations entre
fonctions méromorphes.
Supposons F définie comme surface de Riemann de l’algébroïde y
donnée par y" et À te Dire: + Gil Sa A° ee 0.
Toutes les fonctions méromorphes sur F sont de la forme Y — ŸB: y
et N (Y) s'exprime comme un polynôme en À et B NAGER PACA ARE RD 2) Les deux problèmes : A, A, , et f(x) étant donnés, résoudre
l'équation (1) P—= f(x), aux inconnues B; (x), ou trouver sur F les fonctions Ÿ ayant une norme donnée, sont équivalents.
Pour la surface de Riemann de y — VA(x), l'équation prend la forme simple : B% — AB”, —=f(x) (équation de Pell). Soient deux systèmes de solutions (B',,.. B',,) et (B",, .… B",,) de (1), y’ et V’ et Y” les fonctions correspondantes. a pour norme lÎ. La résolution de l’équation (1) se ramène donc, äès qu’on connaît une solution particulière, à la résolution de l’équation P — 1.
43. — Les résultats précédents peuvent s’interpréter dans la théorie des groupes fuchsoïdes.
Les intégrales abéliennes sur une surface de Riemann quelconque S peuvent être étudiées, comme nous l’avons fait au chapitre IV pour les fonctions uniformes sur $S, à l’aide de l’uniformisation de la surface par une variable z sans point critique.
Bornons-nous aux intégrales de première ou seconde espèce. On se ramène ainsi au problème suivant ; |
étant donné un groupe fuchsoïde G, étudier les fonctions I(z), méromorphes pour [zl <lretoventianEl(Tz). = 12) oo
On désigne par T les substitutions du groupe, et par w, des constantes.
Les fonctions I(z) vérifiant ces conditions seront dites intégrales abéliennes attachées au groupe G, et de première ou seconde espèce suivant que I(z) est ou n’est pas holomorphe pour [z| LE à
Une intégrale abélienne de première ou seconde espèce I (z) a pour dérivée une fonction méromorphe p(z) à résidus nuls, qui est une fonction © appartenant à l’exposant 1 : et réciproquement la primitive d’une telle fonction (z) est une intégrale abélienne de première ou seconde espèce, ou en particulier une fonction automorphe. I est de première ou seconde espèce suivant que (z) est ou n’est pas holomorphe pour |z| cale
À chaque substitution T de G correspond une période w,. qui peut être nulle. Quelle que soit y, ces périodes sont évidemment liées par des relations résultant des relations de structure du groupe. Soient T,, T,, ..T les substitutions génératrices, qui peuvent être ou non liées par des
relations fondamentales. Si T—T;"#: est une substitution du groupe, i variant dans un certain ensemble fini d'indices et kes a; étant des entiers poitifs ou négatifs, on a évidemment : wr — È 4; r, . Si d’autre part les substitutions génératrices vérifient une relation fondamentale IT,“ = 1, on a : 2 a; 61, —0., Par exemple si T; est une rotation elliptique d’an-
gle ARE IL let w TU,
Pour obtenir toutes les périodes d’une intégrale abélienne I, il suffit de connaître les périodes principales définies comme suit ‘: soient Otis Ur, ee Wr, .… Îles périodes correspondant aux substitutions génératrices. Enlevons de cette suite les périodes qui, d’après les relations fondamentales, sont identiquement nulles ou s'expriment comme fonctions
linéaires des précédentes. Il reste une suite wr,;, .… r, … telle que toute 1 n autre période s’exprime comme un combinaison linéaire à coefficients entiers d’un nombre fini de wr, . Les coefficients de la combinaison ”
dépendent non de l'intégrale I considérée, mais seulement du groupe. Pour que I se réduise à une fonction automorphe, il faut et suffit que toutes ses périodes principales soient nulles.
La formation d’intégrales abéliennes se ramène à la formation de fonctions © appartenant à l’exposant 1, dont on aura mis en évidence les é d CM pôles. Si le groupe G est de seconde classe, la série ;, TS on peut prendre comme fonctions @ des séries @ de Poincaré appartenant à l’exposant 1 (Myrberg, [8] et [4]). Les exemple les plus simples d’intégrales abéliennes de première espèce correspondent aux séries @ formées avec les fonctions génératrices H (z) — 1, z, 22, …
| converge, et
Si G n’est pas de seconde classe, bornons-nous au cas où il provient de l’uniformisation d’une surface S remplissant les conditions indiquées au chapitre IV, grâce auxquelles on sait former la fonction @ sans zéros,
: dx appartenant à l’exposant 1, EPA [.C@):
On peut prendre pour æ(z) une expression de la forme (f ri) p (2) = TE) (SEA @, (z) désignant une série @ appartenant à dz,
l’exposant m > 2. On obtient des formes simples en construisant ®@, à l’aide des fonctions génératrices
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Mais l’étude directe des propriétés de I(z), même sur ces exemples simples, paraît difficile.
Il serait important de savoir si l’on peut former une famille d’intégrales abéliennes de première espèce linéairement indépendantes, et s’il existe des intégrales admettant des périodes principales arbitrairement données.
L'étude directe faite pour les surfaces algébroïdes donne la réponse pour les groupes fuchsoïdes correspondants.
44. — Remarquons en terminant que les raisonnements et résultats ci-dessus s'appliquent à une classe de surfaces de Riemann plus générale que celle des surfaces algébroïdes considérées jusqu'ici. Soit une suite de surfaces F$ analogues à celles du $ 37, les F se projetant sur des domaines fermés D tels que D ,tende vers un domaine limite D ayant au moins un point frontière.
F,a m, feuillets égaux projetés sur D,, mais le nombre de feuillets peut augmenter avec n. Nous supposons seulement que, lorsqu'on passe de F, àF,.,, les nouveaux feuillets introduits ne communiquent avec les précédents qu’à l’extérieur de F, et que les projections des points de ramification de F — our ces conditions on sait former la fonction désignée au chapitre IV, C par f (x); et une fonction holomorphe sur F, a toujours une expression
F, ne s’accumulent que sur la frontière de D. Dans
DE
(1 de la forme »
; B, (x) y , y désignant une fonction holomorphe sur F
admettant F comme surface de Riemann.
On voit qu’il existe sur F des intégrales abéliennes de première ou secondé espèce ayant des périodes principales données, des fonctions méromorphes à zéros et pôles donnés, et des fonctions méromorphes admettant des pôles donnés avec des parties principales données.
