EL
courbes y,, y3, … y" . F, + G, n’est pas morcelé par ces courbes, puisque F, et G, communiquent encore le long de y" ; mais il est impossible de tracer une nouvelle courbe ne morcelant pas le domaine. En effet, après le tracé de ces p, + © + k —— 1 courbes, munies chacune de deux bords, F, + G, apparaît comme réunion de deux domaines de genre zéro communiquant le long de y, . Et il est évident que deux domaines de genre 0 communiquant par un contour commun forment un domaine de genre zéro : il suffit de les représenter sur deux domaines plans, communiquant par un cercle qui est contour commun, un domaine étant représenté à l’intérieur du cercle et l’autre à l’extérieur.
Nous voyons d’autre part que, comme courbes conduisant aux modules principaux de G, + F,, nous pouvons conserver : d’une part les p, courbes déjà tracées dans F,, ne le morcelant pas, et leurs p, courbes associées; d’autre part les k —— 1 courbes 7,, .…, y," qui ne morcellent CALE am Ce Reste y, dans le cas où elle aurait été prise dans F,; mais dans ce cas nous devrons prendre comme courbes conduisant à des modules principaux de G, + F, toutes les courbes frontière de G, projetées à l’intérieur de y.. Nous pouvons substituer à l’une d’elles la courbe 7,” , puisque, d’après le
théorème de Cauchy, f ydx pris le long du contour total de G, est nulle.
On opère de même pour tous les domaines G qu’il faut ajouter à F, pour obtenir F,; on obtient ainsi dans F, un système de courbes fermées qui comprend les courbes déjà tracées dans F, : ce système n’est peut-être pas celui qui résulterait de l’application directe à F, du procédé indiqué plus haut pour F, ($ 38), mais il lui est équivalent : c’est encore un système conduisant à des modules principaux. Et ainsi de suite. Le résultat est donc établi.
40. —— Existence dans F, et dans F d’intégrales de première espèce ayant des modules principaux donnés (5).
Nous allons maintenant montrer qu’on peut construire une fonction I, sur F,, ayant le caractère d’une intégrale abélienne de première espèce, et dont les modules principaux ont des valeurs données. F, peut être considérée comme portion de la surface algébrique F”, définie de la manière suivante : soient un contour, par exemple intérieur, de D,, que nous
désignons par y», 4, un point intérieur à ÿ» Y» Y, - les courbes frontière de F, projetées sur y, Ajoutons à F, les domaines simplement connexes projetés sur l’intérieur de y, , limités par y, Y,. et présentant éventuellement des points de ramification €’, @d,.. projetés sur 4, ;
prolongeons les lignes de passage de première ou deuxième famille, s’il y
3. Depuis la rédaction de ce mémoire a paru dans les Math. Annalen, Band 120, 1949, p. 430-461, une démonstration due à BEHNKE et STEIN, de ce résultat pour toute surface de Riemann ouverte.
en a, qui aboutissent aux y',, y, jusqu’en «', 4°... , et recommençons l’opération pour tous les contours de F,.
La surface algébrique F*, ainsi obtenue a même genre P, que F,,; en effet F, s'obtient à partir de F', en enlevant [, portions simplement connexes: l’ordre de connexion de F*,est donc 2p, + 1 (c’est l’ordre de la surface F*, où l’on a pratiqué un trou, pour avoir une surface à bord). F*, , où l’on a enlevé par exemple la portion limitée par Y', , est rendue simplement connexe par les p, systèmes (a, b, c) déjà tracés dans F, et supposés aboutir à y, (*). Les intégrales abéliennes de première et seconde espèce sur F*, ont 2pP, modules de périodicité, qui correspondent aux coupures (a) et (b), et on sait qu’on peut déterminer un système fondamental de ces intégrales, c’est-à-dire un système tel que le déterminant des périodes soit différent de 0 (Appell et Goursat, [4}, p. 331). On supposera que les intégrales de seconde espèce qui appartiennent au système fondamental ont leurs pôles dans la partie de F*, extérieure à F,. Par combinaison linéaire on peut donc former une fonction qui a sur F, le caractère d’une intégrale abélienne de première espèce et dont les modules % et Bont des valeurs données. Ses modules ® sont nuls.
Soit (d,) une coupure qui joint une courbe frontière, par exemple y,, à Y,. Considérons une intégrale de troisième espèce de F*,, dont les deux pôles simples sont l’un dans le domaine de F”, contigu à F, le long de y',, l’autre dans le domaine contigu le long de y’,.
Considérée sur F,, elle admet un module de périodicité relatif à (d.) différent de zéro, des modules ® nuls sur les autres coupures (d), et certains modules %, @ . D'où la construction suivante : on commence, à l’aide d’une somme d’intégrales abéliennes de troisième espèce de F”, du type indiqué, par assurer aux modules ® les valeurs requises: il suffit alors d'ajouter une combinaison linéaire des intégrales formant le système fondamental pour obtenir une fonction 1,, régulière et non uniforme sur F,, avec des modules .b, ‘@, ® donnés, donc avec des modules principaux donnés.
Nous pouvons maintenant former une intégrale 1 de première espèce sur F, dont tous les modules principaux ont des valeurs données. Pour
chaque surface de la suite F, , nous formons comme ci-dessus l'intégrale
La différence [,,, — [,, après choix d’une détermination pour 1,., et L,,
est une fonction holomorphe sur F ,. Soit y une algébroïde holomorphe dont F est la surface de Riemann.
1,., — 1, est de la forme à A, (x) y' ,les A, (x) étant holomorphes i=0
4. Nous employons ici les systèmes de coupures et notations du $ 38.
(ou méromorphes) dans D,. Comme nous l’avons vu au chapitre IV,
par une fonction
[,,, — I, peut être approché à PC près dans F,
Mm—
GB (a) 7 : qui est û 10 holomorphe sur toute F.
co
Dès lors la série 1 = I, + je (,, —1,—9g,) fournit l'intégrale abén=1
lienne de première espèce cherchée : dans un domaine fermé quelconque
de F Ia série, amputée d’un certain nombre de termes au début, converge
absolument et uniformément vers une fonction holomorphe; il suffit de
q Le) al $ o 8 lécoredise DU E > (An, —1,—9,) pour voir que les modules 1 qg+1
principaux relatifs aux courbes situées dans F, (q quelconque) ont les valeurs requises.
A partir de I, par addition de fonctions holomorphes sur F, ou de fonctions méromorphes admettant des pôles et des parties principales données, on peut former une infinité d’intégrales abéliennes de première ou deuxième espèce admettant les mêmes périodes. Une intégrale abélienne n'est plus déterminée à une constante près par la donnée de ses périodes et de ses singularités : cela résulte du fait que, F étant ouverte, il existe des fonctions holomorphes sur F ne se réduisant pas à des constantes. Pour que I soit déterminée à une constante près par ses singularités et ses périodes, il faut imposer des conditions supplémentaires : par exemple que l'intégrale de Dirichlet soit finie, dans le cas des surfaces à frontière nulle (Nevanlinna, [2], et Myrberg, [2], [8], [4]).
41. — Théorème : 1l existe des fonctions méromorphes sur F admettant des zéros et des pôles donnés avec des ordres de multiplicité donnés.
Supposons connue une fonction Y répondant à la question. Soit un point M, de F, projeté sur x,, pour lequel la variable d’uniformisation locale est r défini par æ—x,— 7° si M, est point de ramification d'ordre v— 1. Si Y admet au voisinage de M, un développement de la forme
dy n Y = dx Mg ve, GÆ0nr2>0), Re De e y
ce
a un développement de la forme Î
NÉTÉSIT
ay!
Si Vadmet en M, un zéro d'ordre n, mn admet en M, un pôle d’ordre v ay!
avec le résidu n; Si Y admet un pôle d'ordre p, m admet en M, un pôle És ay!
d'ordre v avec un résidu —p; Si Y est régulier et différent de 0, — admet
un pôle d'ordre < v, et par suite un résidu nul.
ay!
D'autre part VE dx est une intégrale abélienne (°) admettant, outre les périodes principales (et celles qui en résultent), des périodes polaires toutes les périodes sont multiples de 2 ri.
Inversement, si nous déterminons une fonction g possédant ces proqu!
priétés de Fr : sait qu'il existe des fonctions méromorphes sur F admettant des pôles donnés avec des parties principales données. Soit g, une fonction qui admet les pôles et résidus correspondant aux Zéros et aux pôles de la fonction cherchée, et qui peut admettre en outre des pôles d’ordre < y — 1. aux points de ramification d’ordre v — 1.
f 9, dx admet des périodes polaires multiples de 27i, et certaines périodes principales. Il suffit de prendre g—=g: +9» où f g, dx, est une intégrale abélienne de première espèce admettant les mêmes périodes principales modulo 2ri que — f g,dx
Toutes les fonctions ayant mêmes zéros et mêmes pôles que Y s’obtiennent en multipliant Y par des fonctions % holomorphes sur F, n’y ayant ni zéros ni pôles. Ces fonctions 3 sont évidemment les fonctions & = el,
on voit aisément que e/94 répond à la question. Or on
I désignant une intégrale abélienne quelconque de première espèce dont toutes les périodes sont congrues à 0 modulo 2ri.
Remarquons que, dans la démonstration précédente, on est conduit y'
à écrire a — 9 + g:. Si on écrit g, sous forme d’une série dont chaque terme correspond à un pôle, on voit qu’on obtient une décomposition de 4 en facteurs dont chacun présente un seul zéro, ou un seul pôle, mais n’est
pas uniforme.
