INTRODUCTION

L'objet de ce travail est l’étude de quelques propriétés des fonctions analytiques uniformes sur une surface de Riemann donnée, principalement dans le cas de la surface de Riemann d’une fonction algébroïde. Je précise dans ce cas l’expression des fonctions considérées.

L'étude de la distribution des valeurs conduit, comme pour les fonctions entières et méromorphes, à la considération de familles de fonctions. Les principaux résultats de la théorie des familles normales s’étendent aux familles de fonctions uniformes dans un même domaine non-simple, ou uniformes dans des domaines non-simples qui tendent.vers un domaine limite; en les utilisant dans le cas de la surface de Riemann F d’une aigébroïde entière qui satisfait à certaines conditions relatives à la distribution des points de ramification, j’établis pour les fonctions holomorphes sur F l’existence d’au plus une valeur exceptionnelle finie et l’existence de cercles de remplissage et de directions de Julia.

L’uniformisation des fonctions algébroïdes peut s’obtenir par des fonctions automorphes correspondant à des groupes fuchsoïdes (groupes de substitutions homographiques sur z, conservant le cercle |z| < 1, et dérivés d’une infinité de substitutions génératrices). Les propriétés des côtés et sommets des polygones rayonnés des groupes fuchsiens s’étendent aux groupes fuchsoïdes, mais il existe en outre des sommets singuliers, points d’accumulation de sommets ordinaires : j'en distingue deux espèces dont l’une est toujours dénombrable et l’autre peut avoir la puissance du continu. Des exemples sont construits à l’aide d’une condition suffisante pour qu’un polygone à une infinité de côtés soit polygone générateur d’un groupe fuchsoïde. ,

Pour l’uniformisation, j’emploie la méthode de représentation conforme sur le cercle [z] < 1 de la surface de recouvrement S® obtenue à partir d’une surface de Riemann donnée $S en transformant S en une surface simplement connexe $’ par un système convenable de coupures, et en reliant des exemplaires égaux à S’. Chaque exemplaire est représenté sur un polygone fuchsoïde qui, dans la méthode de Koebe, n’a pas de sommets

intérieurs au cercle |z| — 1, Pour certaines surfaces de Riemann, j’emploie un autre système de coupures, qui conduit à des polygones fuchsoïdes admettant une infinité de sommets adventifs intérieurs au cercle [| = 1

Dans tous les cas, la représentation est faite par une fonction z, linéairement polymorphe sur $S et qui peut ou bien ne pas admettre de points critiques sur S, ou bien admettre en des points donnés des points critiques algébriques ou logarithmiques correspondant à des sommets elliptiques

ou paraboliques. Dans le premier cas les fonctions méromorphes sur S ne sont autres que les fonctions automorphes du groupe fuchsoïde obtenu; dans le deuxième cas on doit adjoindre des conditions relatives au comportement des fonctions automorphes au voisinage des sommets paraboliques.

Des fonctions linéairement polymorphes du type précédent interviennent dans l’expression de la borne qui figure dans le théorème de Landau, pour le cas d’un ensemble quelconque de valeurs exceptionnelles. Je donne cette borne et j’applique la méthode du théorème de Landau aux fonctions non plus holomorphes mais algébroïdes dans un cercle.

J’établis ensuite par la méthode de l’uniformisation, sur certaines catégories de surfaces de Riemann, l'existence de fonctions holomorphes sauf en des points donnés, en nombre fini ou infini, qu’elles admettent pour pôles ou points essentiels isolés avec des parties principales données. Le résultat s’applique en particulier aux surfaces algébroïdes. IL nécessite l'emploi d'un lemme sur l’approximation des fonctions holomorphes dans un domaine plan par des fonctions holomorphes dans un domaine plus grand. De ce lemme résulte l’existence dans un domaine plan, dont la frontière comprend au moins un point, de fonctions méromorphes admettant des pôles et zéros donnés.

Je démontre enfin sur certaines classes de surfaces de Riemann, comprenant en particulier toutes les surfaces algébroïdes, l’existence d’intégrales abéliennes de première ou seconde espèce qui admettent des périodes données. Ce résultat avait été obtenu par Myrberg pour certaines surfaces algébroïdes entières. Je l’établis en considérant la surface de Riemann étudiée comme limite d’une suite de surfaces dont chacune est une portion de surface algébrique. De ce résultat découlent simplement l’existence de fonctions méromorphes sur une surface algébroïde quelconque et y admettant des pôles et zéros donnés, l’existence de solutions pour certaines équations entre fonctions méromorphes (par exemple A2—BE—G; E, G données, A et B inconnues), et une extension de la formule de Gauchy donnant la valeur d’une fonction holomorphe dans un domaine non-simple, limité par un nombre fini de courbes rectifiables, au moyen des valeurs sur la frontière.

C’est pour moi un agréable devoir de témoigner ici ma profonde gratitude à M. Valiron qui m'a incité à entreprendre ce travail et qui n’a cessé de me prodiguer sa bienveillance et ses conseils. M. Montel a bien voulu présenter aux Comptes Rendus quatre notes résumant certains résultats de cette étude, et m'a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury : qu'il veuille bien trouver ici l'expression de ma respectueuse reconnaissance. Je remercie également M. Favard, qui a accepté de se joindre à MM. Montel et Valiron pour constituer le jury.