CHAPITRE I

GÉNÉRALITÉS. —- FAMILLES DE FONCTIONS ALGÉBROIDES A. — Généralités.

1. — Fonctions analytiques uniformes sur une surface de Riemann :

Soit S une surface de Riemann quelconque étalée sur le plan complexe (æ). Il est en général commode de la définir comme limite d’une suite de domaines S, non simples, mais tels que chacun d’eux ait un nombre fini de feuillets, un ordre de connexion fini et soit limité par un nombre fini de courbes rectifiables, et que d’autre part S, CS,C.. C S,C...S est formée de points intérieurs qui sont des points simples ou des points de ramification d'ordre fini. On sait qu’il existe une infinité de fonctions analytiques y (x) admettant S comme surface de Riemann (cf. par exemple Stoïlow, [1], chap. II) (). Les fonctions analytiques %Y (x), uniformes et régulières (2) sur S, forment une classe plus générale, puisqu'elles comprennent en particulier les fonctions méromorphes de x dans le domaine formé par les projections sur le plan (x) de tous les points de $.

L'étude d’une telle fonction au voisinage d’un point de la surface (appelé point analytique et désigné par un couple (x,,y,) ou simplement par M) se fait au moyen de la variable d’uniformisation locale + définie comme suit (cf. par exemple Valiron, [2]), chap. Il)

T=Xx—x, en un point simple à distance finie;

r—(x— x)" en un point de ramification d'ordre v — 1 à distance finie, qui fait communiquer » feuillets;

en un point simple à l'infini;

1 1 Ke (2) en un point de ramification d'ordre v — 1 à l'infini.

Au voisinage du point M,, Y est développable en une série de la forme :

+ oo MES Cr

in le point est dit pour % pôle d'ordre p, point ordinaire, ou zéro d'ordre p suivant que n——p,n—0,n—p (p entier positif). Le résidu correspondant est par définition va, pour un point à distance finie, —va, pour un point à l'infini. Y est dite holomorphe ou méromorphe sur S suivant qu’elle : a ou n’a pas de pôles.

1. Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie qui termine le mémoire. 2. Les pôles ne sont pas regardés comme des points singuliers.

Si Y est seulement holomorphe dans un voisinage de M, privé de M,;, et si M, n’est pas un pôle, la série Y comprend une infinité de termes à exposant négatif, et M, est un point singulier essentiel isolé. La définition du résidu est inchangée. |

A l’aide des définitions ci-dessus, un certain nombre de propriétés valables pour les fonctions définies dans un domaine plan s'étendent aux fonctions définies dans un domaine appartenant à une surface de Riemann quelconque $S. Leur démonstration fait intervenir soit des propriétés locales de la fonction, soit un découpage du domaine en portions planes. En particulier, soit un domaine D intérieur à l’un des S, (donc à un nombre fini de feuillets), limité par un nombre fini de courbes rectifiables C; les lignes de passage seront supposées polygonales.

Si Y (x) est holomorphe dans D et continue dans D + C,