Sur Quelques Propriétés Des Fonctions Entières De Genre Zéro

Étant donnée une fonction entière F(2) d'ordre o <1 dont le module maximum soit Mr) et le module minimum m(r) pour |2l=7r, on a pour une infinité de valeurs de r indéfiniment croissantes l'inégalité

mr) > MNT, 0, désignant un nombre tel que o < o, < 1.

- j' Re L Pour les fonctions d’ordre 0 et : cette inégalité est moins

précise. Nous voulons chercher quelles relations on peut trouver pour ces fonctions.

Les fonctions entières d’ordre zéro ont été étudiées par plusieurs auteurs parmi lesquels MM. Valiron*? et Littlewood* ont trouvé les résultats les plus généraux. Pour le module minimum ces auteurs ont trouvé l'inégalité

mr) > M( *, e désignant un nombre arbitrairement petit.

1 Wiman, Über eine Eigenschaft der ganzen Functionen von der Hôhe Null, Math. Ann. 76 (1915) p. 197.

2 Valiron, Sur les fonctions entières d’ordre nul, Math. Ann. 70 (1911) p. 471; voir id. Nouv. Ann. XI (1911) p. 448; Thèse, Paris (1914).

$ Littlewood, On the asymptotic approximation to integral functions, Lond. Mat. Soc. Proc. (2) V (1907) p. 361; voir id. Cambr. Trans. (1909) p. 301.

J'ai déjà traité cette inégalité dans une Note! où j'ai cherché à préciser la croissance du nombre s. Cependant, la méthode y employée ne conduisait pas au résultat le meilleur possible. Je vais reprendre cette question dans la première partie de ce travail. Dans la Note citée, j'ai aussi traité quelques classes de fonctions à croissance irrégulière. Les résultats trouvés nous ont suggéré à des recherches plus générales sur ce sujet. Celles-ci ont montré que la croissance de € est étroitement liée à la croissance irregulière des Zéros. C’est pourquoi je vais les mettre en première ligne. Dans la première partie J'étudierai aussi certaines classes de fonctions de genre zéro et d'ordre superieur à zéro à croissance irrégulière.

La deuxième partie est consacrée à l'étude du module

minimum des fonctions d’ordre ; et à l'étude des fonctions

d'ordre 1 qui se rattachent très étroitement à celles d'ordre ; -

Dans la troisième partie j'ai obtenu certaines relations entre le nombre des zéros dont le module est inférieur à r et le module maximum Â{(r). Cependant, je me suis borné aux fonctions de genre zéro.

Dans tout ce qui suit nous désignerons le module maximum

pour |z|]=7r des fonctions entières F(+), F(2), LE) TEE par M), Mir), Mr), .... et le module minimum par mr), mar), m(r), ..... Dé plus, nous désignerons pare, 2.

des nombres positifs fixes aussi petits que l’on voudra, par e(x) une fonction quelconque tendant vers Zéro en même

temps que et par &e,(x) [u = 1, 2, ...] une fonction semblable

mais déterminée.

! Sur le module minimum etc., Arkiv fr Mat., Astr. och Fys. (1912).

A. Théorème général sur les fonctions entières d'ordre zéro.

iè , . Gé "* zéro d'une fonction entière

Lee) d'ordre zéro. On sait qu’alors la série S — converge. En ; 0 1 n

posant r*=n, on aura lim 0, = 0.

Soit 7» le module du #

Pour étudier les fonctions entières d'ordre zéro, il faut régulariser la suite o,, et pour faire une étude tout à fait générale, 1l faut effectuer la régularisation de telle façon qu'elle comprenne toutes les fonctions.

M. Valiron a résolu ce problème par l'introduction de fonctions types. La nature des problèmes qu'il a traités est le plus souvent telle qu’il a été nécessaire de faire usage de fonctions continues. Ce n’est pas le cas pour les problèmes que nous traitons ici. C'est pourquoi nous allons nous servir de fonctions discontinues.

Avant de donner la définition de ces fonctions, considérons les fonctions entières d'ordre fini. Désignons par r, le

Fr ENT T s à = module du n°"° zéro et posons r°*=n. Soit lim sup. 6 = 0 n —

et lim inf. 6, =. Comme on le sait, p désigne alors l’ordre réel de la fonction. Dans le cas où 9’ =0, la fonction est à croissance régulière au sens de M. Borel. D'autre part, si o'<o, la fonction est à croissance irrégulière et 0’ peut être regardé comme une mesure de l’irrégularité de la croissance

des zéros.

Quelles sont les analogies à © et à o' pour les fonctions d'ordre zéro? Elles doivent être des fonctions d’une certaine

. Q La variable, par exemple de n ou de r,, qui tendent vers zéro en

: LPS , même temps que - ou -- Posons r comme variable et qu'au n je ñn

nombre o corresponde une fonction o,(r), à o' une fonction

: ; : ; On Me Où 0,(r); on doit avoir els Mnenpe ue) = Run DATA = Nous voulons donner une définition plus distincte de ces fonctions. La voici.

1° Elles sont définies pour des valeurs réelles et positives de x > x, et elles sont elles-mêmes réelles et positives.

29 Elles ne croissent jamais, lorsque x croît, et tendent vers

: É zéro en même temps que =.

3° o0,(r,) > 0, et o,(r,) < o, pour tout n > 7 49 o,(r,)= 0, et o,(r,)= 0, pour des suites infinies de valeurs de n; nous appelons ces valeurs indices principaux.

On comprend immédiatement que les conditions ci-dessus sont compatibles avec la définition donnée.

Mettons en évidence l’existence de telles fonctions. En ce qui concerne o,(x) nous raisonnons de la manière suivante. Soit n >n,, et considérons parmi tous les x > n, les valeurs des n pour lesquelles 6, prend sa valeur maximum; choisissons-en la plus petite », et la plus grande #’, ; alors G, 208 pour M<n<N et On > Op POUT N > n'\; 5, tendant vers zéro, cela sera toujours possible. De la même manière on peut trouver deux indices, n, et n',, tels que y, > Om PONT N <RELN et 6, >0, pour n>n,. Üe procédé, on peut l’appli-

quer indefiniment et trouver ainsi les indices m3, .... nn n ae CORRE ; :

RUES CtEnEs ARE ER tels que a 1r 0

à 0 ’ Q pour n°, <n<n, 3 ,et ny +4 7 On POU RENE pre Posons ensuite

fe d) = Le pour . SU Re

| L) = O QUES SUD eu ) RD P Rp — Rp +1

Il est évident que la fonction o,(x), ainsi définie, jouit des propriétés indiquées plus haut. Elle est aussi la plus grande de celles parmi les fonctions o,{(x) qui ont le plus grand nombre d'indices principaux.

L'existence d’une fonction o,(x) peut être établie de la manière suivante. Considérons les valeurs de » dans l’intervalle 2<n<n, et choisissons-en un NW, tel que 6, .<o, pour tout n<n; 0, tendant vers zéro, on à 6, <6y pour n “suffi samment grand. Soit N, le plus petit ice n pour lequel 0, <Ow,. On à alors 64 <o, pour mn <n<N;. Ensuite on peut trouver des on ne n > N, telles que 6,<6,. Soit N, l'indice le plus petit pour lequel cette inégalité est ee On aura donc 64 <o, et 04 <o, pour N,<n<N,. Ce procédé peut être renot indéfiniment et l'on pourra trouver une

Hnccdindices N,, NM, N,, ........ À, F4. 7tels AO, < etor LE pour N,<n<N,,,. En posant p

| Sn (&) =0%, pour r,<2< rx; | Om (Æ) = 07, POUr Ty Ho ne 1228-72),

il est évident que la fonction o,(x), ainsi definie, jouit des propriétés indiquées plus haut. Elle est aussi la plus petite de celles parmi les fonctions o,(x) qui ont le plus grand nombre d'indices principaux.

Voyons maintenant sous quelle forme le théorème de M. Wiman doit se présenter pour les fonctions entières d'ordre

co zéro. Pour une fonction entière d'ordre @ la série > — converge, si 0 >@. Pour les fonctions d'ordre zéro on est donc conduit à croire que €,, figurant dans ce théorème, doit être

remplacé par une fonction æ(r), telle que la série 2x5 conn verge. Or, il est évident que la serie > ne) diverge,

[ee] : me 1 D tandis que la série DR CES converge, o,(x) désignant r L'on

la fonction que nous avons définie. On aurait donc à prendre e,() (++) au lieu de 0, dans le théorème de M. Wiman. Cependant op, peut être remplacé par o,(r) (1+e), comme il suit du théorème que voici.

Pour les fonctions entières d'ordre zéro l'inégalité

(a) m(r) > M(r) cos en) G+e) x est vérifiée pour une inpinité de valeurs de r indéfiniment croissantes.

. 5 , .ème ; Toute fonction entière d'ordre zéro, F(2), dont le { zéro est — a, peut s’écrire sous la forme

r@=CIT( al

Sans restreindre la généralité, on peut prendre C=1. Posons |a,|=7r, et formons la fonction

F(:) - I (: ei)

On a toujours

20 ll ; oc TT (1 3 :)

lé

m(r) = II

; M(r) Jill ( + :)

Si l'inegalité (a) est vérifiée pour F(+), on aura une égalité correspondante pour Æ,(2). Alors il suffit de démontrer l’inégalité (a) pour les fonctions dont les zéros se trouvent sur l’axe réel négatif.

Pour démontrer l'inégalité (a) pour F(+), nous allons nous servir de la méthode qu'a employée M. Wiman pour la démonstration du théorème mentionné, en y apportant quelques modifications.

Tout en suivant les idées de M. Wiman, introduisons une fonction (+) et posons m(r) = [M(r)]°, mr) = [Mn]. Supposons vérifiées les inégalités suivantes

(1) m(r) > mr)

mr) mr)

MG) = Mo)

Alors à! faut que K>K. Æ En effet, en supposant ÆÀ > 0, on tire de ces inégalités

MO > MoN et

LME = E<[Mo) À d'où :