MO) > ME]: —E
ce qui prouve notre assertion. Fe
Il s’agit maintenant de trouver une fonction (2) telle que À > cos e,(r) ( +e)x et que les inégalités (1) et (2) soient vérifiées pour une infinité de valeurs de r indéfiniment croissantes.
Désignons par N un indice principal de o,,(r) et posons
Fo-I[(1+5).
1l rat GrS
Le Des résultats de M. Wiman! on déduira pour r=(n+;) les rélations suivantes
né d log 2 art bero> 22) ax À = 7
COSEZ
+ Àe,(r).
sin —
et 1 1
ri Alog2nr 7 2
log M(r) = se
Sn
+ Àe,(r).
Un calcul assez facile nous donne
log m(r 1+6e" * TO CE se)
log M(r) À
ou
RTE V7 s L+es)x () mr) > [MI MON OTRE, inégalité valable pour tout n > n,.
Il est évident que o,(r}), figurant dans (3), peut être remplacé par o,,(r) pour r < r,,, parce que o,,(x) est une fonction non croissante. Alors on a Æ > cos 0,0) ( + &)x. Reste donc à
n montrer les inégalités (1) et (2) pour une valeur r = (r + 5) te
Déterminons un indice N' tel que
(4 (nr) > CT) (Qi SE €) ?
ce qui sera toujours possible en vertu des propriétés de 0, (x). On voit aussi que N'<N.
! Loc. cit. p. 199—201; voir id. Über die angenäherte Darstellung der ganzen Funktionen, Arkiv für Mat., Astr. o. Fys. I (1903) p. 109.
Ceci posé, écrivons
co N° N
m= [I IT IT [L-48.0:
mr) r; € ï 00 s M) Il Ta [I Il IL -4 2 0 r.
1 r fr | fr rx 20 Mo) 1 1 ia -ILILU-2 20 HE 1 NHi ?
Les inégalités (1) et (2) sont satisfaites, dès que les produits À, B, C remplissent pour un 7 convenable les conditions suivantes:
(51) 4, > A, (2) B,>B,4(u =1,2) (53) Cu > Ce
En rappelant que r = Ê + ;) , nous choisissons N'<n<N—1.
En tenant compte des propriétés de o,(x), on conclut de l’iné-
galité (4) que r,<Ÿ pour 2 << N'; par choix convenable de
es : ; TA l’origine on obtiendra aussi r; < 1. Alors on trouve re ent
pour 2<N'. Par suite, pour ces valeurs de 2,
1 51 ; Û AA 24e . Lo ; "5 o +1 +1 T. i
ce qui entraîne les inégalités (5;).
Passons maintenant aux inégalités (5,). En faisant usage
RATE Ve d 1 des inégalités ul 2% enr ent b<e<;] et LT Fe 2 1— x 1—x<e?, Me TL [0<x<1], on aura nu (6,) CC, >e Fer à Sn S La (6,) C, >e > = Ÿ :
LENS (7) GE 7 ra) Pr EE (73) Ci<e Eu Posons (8) à = E [AMEN + 1],
E(x) désignant la partie entière de x, et ecrivons
[se] h le) il il (9) SÉESES EE Ni NE PTE Alors ON LE ds à (10) De LE Ras ie N+1 LE Tv Ty
1% En vertu des propriétés de o,(x) on aura
Le]
& 1 & QE = ee JUN) h (1) Es . > 1 Cy(n <Îx emfnux< h+1 à
fr 1— ox) ?x
et, d'après les relations (8), (9), (10) et (11)
(12) Sier, CT uC NT. a +0.
NE
De plus, tenant compte de la valeur de 1, nous trouverons
1 1 — (1— 6e) (13) 7. à Br arm"
Des inégalités (6; 2), (71,2), (12) et (13) nous tirons (ENT [u = 1,2], ce qui prouve les inégalités (5,).
Il reste à démontrer les inégalités (5,) pour une valeur #,
comprise entre N’ et N. Tout d’abord elles peuvent être remplacées par
(5°) log B, — log B,>0 [u= 1,2].
Nous allons grouper les nombres r; [i = N'+1, W'+2,..... N].
Le premier groupe 7, est composé des nombres qui satisfont à la condition 7, < ÿ pour N'+1<i<N'+h,, tandis que rwpn 1 > (N'+ho+1). Supposons r,> ÿ pour N'+h,+1< IEN'+ hot hi et ryinin +1 (N'+h +1); de la même manière r.<Ÿ pour N'+h+h+1<i<N'+h+h:+h, et Re y pt (N'+ho+h, +h +1). Les nombres ne G=N'+h,+1,...... N'+h+h,+h,] forment un deuxième groupe 7. D'une manière analogue nous pouvons grouper les autres r, jusqu’à ce que tous les r, soient épuisés. Désig-
nons les autres groupes par 7, T3,..... T:,.... 7. Dans : : A .
le dernier groupe 7, on a la seule relation r,>%, puisque À ru.
mr , P Dans un 7, arbitraire, soit hr, le nombre des r,>7 et h,
à le nombre des rie: Désignons encore par r? un r (+5) où n=N'+h+hith+...... h+h.
Alors je dis que les inégalités (5',) sont satisfaites au moins pour l’un des r® [p=0,1,..q—1].
Pour abrèger, désignons par B% et B\ les produits des facteurs comprises respectivement dans B, et B> et correspondant aux indices N'+h,+...+h, 1+1<i<N'+h+...+h,.
Ty N'+ ok. + y De plus, désignons par D la somme Ÿ :
N + hote. hp — 1 +1
La condition r.<t étant vérifiée pour les r, qui entrent
dans 7, on trouve sans difficulté
(14) log BŸ — log p2 > 0 be= 12] pour tout r>r9,
Choisissons ensuite un nombre o, dans l'intervalle
(5) CORNE RS ON SN EEE PES ES et posons er 16 Eros PE EE (16 Se
Désignons encore par #’ un nombre <9%7° et par r" un nombre >»).
Cela étant, considérons les deux sommes
2 A] ' (17:) S0 = > Lost se log ( à)
Th
(7) S9 = > os É — 1 — log be 1) à î
D'après la formule des accroissements finis on a
A Le es | (18) log ( 7) lg (1 =à)- ue
ri r',. désignant un b l : js : £ nombre compris entre r. et #.
Or, pour tous les r, qui figurent dans 7,,
#( :] "E J FE Te. FU (19) NF; cu à £
En effet, d’après (15) la condition an entraîne
duel Q Je : UE. bete  1: <0,- D'autre part, si LU <0, on aura pour les mêmes
raisons 7,>@,. Par suite, en remplaçant r'; par 0, le membre gauche de (19) va diminuer algèbriquement et l'exactitude de (19) sera évidente,
En tenant compte des relations (16), (17,), (18) et (19), nous trouvons
"A (20,) sf) > 2 e et, d’une manière analogue, "A (20,) Dre Pet Cp
Considérons maintenant les sommes
1 fe V o € UE “TZ
@1) > = (os D. ) : ie 1+>
Die =& et s C1) S = (toc Fee — : NN | L
Employant de nouveau la formule des accroissements finis, nous obtenons
ri 1. 2r (3)
(22) log F (4 du log D r . ; (es Ste M fr) T; 05
r', désignant toujours un nombre entre r; et #, mais qui peut différer du nombre r'; précédent,
Par des raisonnements tout analogues à ceux qui conduisirent à (19) nous pouvons trouver pour tous les r; figurant
dans 7, vf) (3 (23) Ü Vi
T2 r\2 1 Op
(24,) NUE de Op
D'une manière analogue on trouve
(2) 2 r'À, (24) D En ne Op Nous faisons maintenant usage du théorème auxiliaire suivant.
En supposant
LA Oy => 0j > Ô = 5273, o] el Oo + TES 0 PCT ESYNANt DAT Ci, Ce; se Cp ce une suite de nombres positifs et non croissants et par yi,»»,..... Y;... üne suile de
nombres positifs et non décroissants, on a
EN MERE ol et ef 2 ri 6; <0.
jl En effet, on peut écrire (2 #4 Dod=c0o,+ Sc — 011) 0 1 1 et
a e, pomme ct er V) 0), 1 ll
ce qui prove le théorème.
Ces développements faits, supposons que
(25) > 4,> 0 SRE el:
les nombres o, croissant en même temps que p, on comprend L 1 ; ; que les nombres A) et a présentent des suites de- ©» Qp
croissantes, lorsque p croît. Dès lors, en tenant compte du théorème auxiliaire et des relations (17,), (20,), (21,) et (24;), on arrive au résultat
e = (26) 2 (og B% — log BŸ) > 0 [u = 1,2] P—=
more ro).
Si o= 9, les relations (14) et (26) entraînent l’exactitude des inegalités (5,) pour r=7@). D'autre part, si l'on a o <q, on doit avoir 4,+,<0. Soit 4, <0 pour o+1<p <h où toutefois À <q—1, car, d’après une remarque que nous avons faite sur le groupe 7, on comprend que 4,>0, et que, par suite, h<q—1l. Posons r=r" =7%. Comme les nombres o, crois-
sent en même temps que p, il faut que “Ve et FE LS
NE Qp Qp
présentent des suites croissantes, lorsque p croît. Il en ré-
sulte, en tenant compte du théorème auxiliaire et des rela-
tions (20,), (24,) et (25),
De plus, comme 4, <0 pour p9+2<p<h, on aura en vertu de (20,) et de (24,)
> 0 Pre
Par suite, d’après (17), (21,), (27) et (28), nous obtenons pour r > r0)
k (29) > (log BŸ — log B?) > 0 [u = 1, 2} Si l’on a h=g—1 ou, plus généralement, si (30) D 4,>0 [w=h+1, h+2,...q h+1
il suit des relations (14), (29) et (26), en y remplaçant o par g et 1 par h+1, que les inégalités (5',) sont vraies pour r = r@.
S1 la condition (30) n’est pas remplie, on pourra répéter le procédé jusqu'a ce qu'on arrive à un k vérifiant la relation (30) qui, elle-même, est vérifiée toujours pour À=qg—1. Ainsi notre théorème est démontré.
B. Sur certaines classes des fonctions entières d'ordre zéro pour lesquelles le théorème général peut être précisé.
Commençons par chercher une représentation asymptotique du module de la fonction!
-Il(+4)
où la fonction a(x) jouit des propriétés suivantes.
19 a(x) est définie pour des valeurs réelles et positives de æ et elle est, elle-même, réelle et positive.
2° a(x) est une fonction continue ayant des dérivées des deux premiers ordres.
3° La fonction xa'(x) est toujours positive et augmente, lorsque x croît, et lim xa'(x) = co.
ZT — ©
4° En posant za(x)=y(x), on à toujours lim -* (&) : zoo Y(X)
O<1<C, C désignant une constante finie.
æa'(x) log æ
5° La fonction D
présente une variation monotone,
za (x) log æ
Pur a(x) log a(x)
