CO
inf. 15 — COCO.
La deuxième catégorie contient les fonctions où lim inf.
n = An = À, À fini, lim sup. 4, =2", À" fini ou infini, et où la condihion 1 < c?X" est vérifiée, c désignant un nombre, compris entre 0 et 1, racine de l'équation x(2 — x) = e- 4-9,
La troisième catégorie contient les fonctions où lim inf. n=—= Co
À = 0, lim sup. 4, = oo, et où il est nécessaire d'introduire une
n — 0 certaine condition.
Pour caractériser cette condition, introduisons les deux fonctions 2,(#) et 1m(x) que voici.
ol
1° Elles sont définies pour des valeurs réelles et positives de x >, et elles sont elles-mêmes réelles et positives.
29 (x) est une fonction non croissante et ie ARE = lu(æ) est une fonction non décroissante et lim 1e
AT
3° An > ÂAm(n) et Ân < Am(n) pour tout n >.
49 ]n = Am(n) et An = Au(n) pour des suites infinies de valeurs de n.
Par un raisonnement tout à fait analogue à celui qui nous a montré l'existence de po, (x), on peut mettre en évidence l'existence des fonctions ci-dessus !.
La condition mentionnée sera
(6) lim sup. Am) Am(£'+*) > 0 > 0.
La démonstration de l'inégalité (e) se fait établir par un procédé tout analogue à celui que nous avons employé pour démontrer les théorèmes dans I, en faisant usage de fonctions de comparaison convenables.
De plus, remarquons qu'il suffit de faire voir l'inégalité (e) pour les fonctions dont les zéros sont situés à l’axe réel et négatif.
Traitons d'abord la première catégorie. On pourra trouver une fonction (x) définie comme a(x), présentée à la page 40, et possédant les mêmes propriétés relatives à À, que a(x) F1 ne
Soient alors N' et N deux indices vérifiant l'égalité An) = 1. Prenons N > N' et tel que 1x > e? 1x. Introduisons ensuite comme fonction de comparaison
QE IL (+ en)
étant posé a(x) = e2Â mr — ———— .
P (@) N° Log(x+1)
1 En particulier, Ay(x) soit construite de la manière suivante.
En désignant par M1, Ne,... N,,... tous les indices tels que
An < À, pour tout » < N,, nous posons Au(x) = x, pour N, < x < Ny4.
Il est évident que cette fonction a(x) vérifie l'inégalité (a). Par suite, en observant que 4x < N° pour W' grand, l'inégalite (m,) sera remplie pour (2), en prenant a(n +6) (nr 0) = r70<0<t, nm NT
Il s’agit maintenant de montrer que l'inégalité (1) dans I a lieu pour une valeur au moins des # comprises entre N' et M— 1.
Servons-nous des mêmes notations que dans des cas analogues, traités dans I.
. 38 1 En rappelant que l’on peut écrire x — 1 = x (1 — à et que
HN eee pouræ<3, > >6* pour æ < 1,
nous trouvons alors par des calculs assez faciles
d’où È A Te
: Comme a(W) < 1x, on constate encore que
