SE DAS ES TE N+1 2N
Employant la formule des accroissements finis et tenant
compte des propriétés de a(x), on trouvera
(W+ 0)? a«'(W + 6) 1 (N+8) a (N+6) PP RL DA VER RER CORRE à a( NV + 6) PTE ET DIS 2a(N + 6)
Pour évaluer Sx, étudions d’abord la fonction
dans l'intervalle W+6<zx< oo, B désignant un nombre positif < 1.
En dérivant (x) et en nous rappelant les propriétés de a(x), nous obtiendrons un maximum de œ(x) pour une valeur x de x satisfaisant à l’équation
a(W+6) æa(e) b a(x)
a(x) — a(W+ 6) = De là on trouve
x, a'(x,) a(W +6) a(r;) Ba a(x;)
et, par suite, avec emploi des propriétés de a(x).
W+Da(W+ 1 ARE CT ET
Donc (NW +0) a(W+6) 1 a( AV + 6) BAN + 6)6
(11) (x) < pour tout x > M+8.
Puis, nous pouvons écrire
à [a(n) — a(W+6) n° Et | ice w 2 a(n)nf RM WrMPon
d'où, à l’aide des relations (10) et (11),
, +9 a(W+6) ni +0) ne TEE
mais il il > n?— 8 LE - @=p) GN) =?"
par conséquent
(NW +0) a(W+8)
(12) 2, <C; (N+86): a+ [C,; finil.
Or, # étant une fonction non croissante, il est évia(x dent que D fra) (N + 6) a'(W + Rue ; (NW + 6) a +0 < 4) dx.
Donc, en tenant compte de (7), (8), (9) et (12), on arrive au résultat N+0 La (E Re (13) log 21, = 9, [ETS de fe, fini
Les formules (3), (4), (6) et (13) nous donnent dès lors
Q()=e ? [y fini],
Ja sinx8 14 nr) = 0 a 9 oo AN +0
Considérons ensuite la fonction d'ordre;
F(2) = IT £ + #} a
a(x) désignant la fonction ci-dessus.
Par un procédé analogue à celui que nous venons d’employer, on va obtenir
N+-0 en fe 4 a sin x 0 AR (141) Mm(r)=e © ; ZV+9 {y' fini], étant posé = Dire
Des égalités (14) et (14) on peut déduire
(mi) Mr) > e et CARE :
(m') ‘as > M(r) > ee" pour | 1 (a) >; (m3) m(r) = ec-rê et (m') M(r) = e— ch [e et c' finis] pour , | (a) a => Lo<p<;):
(M3) x < m(r) < e° et (m's) LM MU) >e [C et C’ finis] pour z :
(as) D << a'(x) LT [C; fini];
(mn) in (r) = r° | SN SUTRE À
et [C fini]
(mi) MAT) = Ta DR
pour
(a,) a!(x) = 2 [e, finil.
Maintenant nous allons chercher quelques classes générales où l'on a la relation
(e) m(r) > e' pour des valeurs de r indéfiniment croissantes.
Soit alors F(2) une fonction d'ordre - avec les zéros — «;
ee
F() = Il (1 re]
Posons |a;|=r;= À. Nous distinguerons trois catégories générales où l’inégalité (e) soit verifiée, suivant les valeurs limites de la suite À,.
La première catégorie contient toutes les fonctions où lim
